Residuum < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:54 Fr 06.07.2007 | | Autor: | TTaylor |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
[mm] \bruch{1}{(z+i)^3\*(z-i)^3[/mm]? |
Ich weiß, dass ich das Residuum von i und -i berechnen möchte. Das funktioniert so, da f(z) = g(z) / [mm] (z-a)^m. [/mm] Dann ist das Res(i,f)= [mm] g^{m-1} [/mm] (a) / (m-1)! Ich kapiere einfach nicht wie ich die Formel hier anwenden soll?
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 14:15 Fr 06.07.2007 | | Autor: | kampfsocke |
Hallo,
Du weißt doch, dass du einen Pol dritter Ordnung hast. Darum ist in deiner Formel m=1.
Also:
[mm] Res_{z_{0}}f(z)=\bruch{1}{(3-1)!} \bruch{d^{2}}{dz^{2}} (z-z_{0})^{3}f(z) [/mm] an der Stelle [mm] z_{0}=i
[/mm]
Brauchst du das Residuum an der Stelle -i wirklich?
Hoffe das hilfe dir.
Viele Grüße,
Sara
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> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
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> [mm]\bruch{1}{(z+i)^3\*(z-i)^3[/mm]?
> Ich weiß, dass ich das Residuum von i und -i berechnen
> möchte. Das funktioniert so, da f(z) = g(z) / [mm](z-a)^m.[/mm] Dann
> ist das Res(i,f)= [mm]g^{m-1}[/mm] (a) / (m-1)! Ich kapiere einfach
> nicht wie ich die Formel hier anwenden soll?
$g(z)$ ist hier für die Berechnung des Residuums bei $i$ einfach $g(z) := [mm] \frac{1}{(z+i)^3}$.
[/mm]
Für die Berechnung des Residuums bei $-i$, andererseits, musst Du in Deiner Formel $g(z) := [mm] \frac{1}{(z-i)^3}$ [/mm] verwenden.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 17:20 Fr 06.07.2007 | | Autor: | TTaylor |
Schon mal vielen Dank an euch für die schnelle Antwort.
Mein Problem ist noch nicht gelöst. Ich habe diese Aufgabe als Übungsaufgabe gerechnet. Aber es soll für
res(i, f(z)) = [mm] 12/(2i)^5 [/mm] * 1/2! = -3i/16 und res (-i,f(z)) = 3i/16 rauskommen und ich komme einfach nicht auf das Ergebnis?
Vielleicht kann mir da jemand helfen?
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> Schon mal vielen Dank an euch für die schnelle Antwort.
> Mein Problem ist noch nicht gelöst. Ich habe diese Aufgabe
> als Übungsaufgabe gerechnet. Aber es soll für
> res(i, f(z)) = [mm]12/(2i)^5[/mm] * 1/2! = -3i/16 und res
> (-i,f(z)) = 3i/16 rauskommen und ich komme einfach nicht
> auf das Ergebnis?
Du schreibst gar nicht, was Deine eigenen Zwischen- bzw. Endergebnisse sind.
Für den Fall $g(z) := [mm] \frac{1}{(z+i)^3}$ [/mm] erhalte ich der Reihe nach $g'(z) = [mm] -\frac{3}{(z+i)^4}$ [/mm] und $g''(z) = [mm] \frac{12}{(z+i)^5}$.
[/mm]
Damit haben wir:
[mm]\mathrm{Res}(i,f) = \frac{g''(i)}{2!} = \frac{\frac{12}{(i+i)^5}}{2}=\frac{\frac{12}{2^5 i^5}}{2}=\frac{3}{16 i}=-\frac{3}{16}i[/mm]
> Vielleicht kann mir da jemand helfen?
Versuchs nun nochmals selbst, für [mm]\mathrm{Res}(-i,f)[/mm], indem Du zuerst die zweite Ableitung von $g(z) := [mm] \frac{1}{(z-i)^3}$ [/mm] bestimmst und dann schön brav [mm] $\mathrm{Res}(-i,f) [/mm] = [mm] \frac{g''(-i)}{2!}$ [/mm] ausrechnest.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:31 Fr 06.07.2007 | | Autor: | TTaylor |
Vielen Dank, ich habe es jetzt endlich gecheckt!!!
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