Richtungsableitung: normiert? < Differentiation < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:02 So 05.08.2012 | | Autor: | sqflo |
Hallo!
Gerade ist mir etwas in einem Analysis2-Skript aufgefallen (bei Wikipedia ist es identisch aufgeschrieben http://de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung ), was ich nicht verstehe:
Die Richtungsableitung [mm] $D_{\vec{v}}{f(\vec{x})} [/mm] = [mm] lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v})-f(\vec{x})}{h}}$ [/mm] ist offensichtlich nur für normierte v (also [mm] $|\vec{v}| [/mm] = 1$) definiert.
Dabei sollte es doch auch für jedes andere v mit [mm] $v\neq [/mm] 0 $ funktionieren:
Setze [mm] $v_0 [/mm] = [mm] \frac{v}{|v|}$ [/mm] und dann gilt:
[mm] $D_vf(x)-D_{v_0}f(x)=lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-hv)-f(x)}{h}-lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-hv_0)-f(x)}{h} [/mm] = [mm] lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-hv)-f(x-hv_0)}{h}= lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-(h\cdot |v|)v_0)-f(x-hv_0)}{h} [/mm] =
[mm] lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-(h\cdot |v|)v_0)}{h}-lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-hv_0)}{h}=0$. [/mm] Also gilt [mm] $D_{v_0}f(x)=D_{v}f(x)$. [/mm] Oder? Das würde die Beschränkung auf normierte Vektoren doch überflüssig machen. Also wo ist mein Fehler? *verwirrt*
lg
flo
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:13 So 05.08.2012 | | Autor: | felixf |
Moin flo!
> Gerade ist mir etwas in einem Analysis2-Skript aufgefallen
> (bei Wikipedia ist es identisch aufgeschrieben
> http://de.wikipedia.org/wiki/Richtungsableitung ), was ich
> nicht verstehe:
>
> Die Richtungsableitung [mm]D_{\vec{v}}{f(\vec{x})} = lim_{h \rightarrow 0}{\frac{f(\vec{x} + h\vec{v})-f(\vec{x})}{h}}[/mm]
> ist offensichtlich nur für normierte v (also [mm]|\vec{v}| = 1[/mm])
> definiert.
Es haengt davon ab, was man unter Richtungsableitung verstehen will. Eine eindeutige Interpretation gibt es fuer $|v| = 1$.
> Dabei sollte es doch auch für jedes andere v mit [mm]v\neq 0[/mm]
> funktionieren:
>
> Setze [mm]v_0 = \frac{v}{|v|}[/mm] und dann gilt:
>
> [mm]$D_vf(x)-D_{v_0}f(x)=lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-hv)-f(x)}{h}-lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-hv_0)-f(x)}{h}[/mm]
> = [mm]lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-hv)-f(x-hv_0)}{h}= lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-(h\cdot |v|)v_0)-f(x-hv_0)}{h}[/mm]
> =
Soweit ok, aber:
> [mm]lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-(h\cdot |v|)v_0)}{h}-lim_{h\rightarrow 0}\frac{f(x-hv_0)}{h}=0$.[/mm]
Das ist (bis auf wenige Ausnahmen) gleich [mm] $\infty [/mm] - [mm] \infty$ [/mm] (mit moeglicherweise verschiedenen Vorzeichen vor den Unendlichs), und nicht gleich $0 - 0$.
> Also gilt [mm]$D_{v_0}f(x)=D_{v}f(x)$.[/mm] Oder?
Nein.
Es gilt $|v| [mm] \cdot D_{v_0} [/mm] f(x) = [mm] D_v [/mm] f(x)$.
Fuer Vektoren $v$ mit $|v| [mm] \neq [/mm] 1$ kann man entweder einfach [mm] $D_v [/mm] f(x)$ wie oben definieren. Dann bekommt man eine Zahl (bzw. einen Vektor, bei vektorwertigen $f$), die entsprechend zu interpretieren ist. Man kann auch einfach [mm] $D_v [/mm] f(x) := [mm] D_{v_0} [/mm] f(x)$ definieren, dann wird $v$ "automatisch" normiert. Beide Definitionen machen Sinn, je nachdem was man damit machen will. Beides hat Vor- und Nachteile. Deswegen definiert man es normalerweise fuer $|v| [mm] \neq [/mm] 1$ nicht (sondern hoechstens dann, wenn man es konkret braucht, und sagt dann was man meint).
LG Felix
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