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| Aufgabe | | Beweisen sie, dass [mm]f(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \in (0,1]\\
0, & \mbox{fuer } x=0 \end{cases}[/mm] Riemann-Integrierbar ist. |
Ich komme mit den Definitionen nich so zurecht. habe es versucht mit der def. mit dem Unter- und Oberintegral, dass die beiden gegen den gleichen wert konvergieren müssen, um Riemann-Intergrierbar zu sein.
Für die Untermenge also das Infinimum bekomme ich 0 raus und für das Oberintegrall
[mm]\sum_{k=1}^{n} (x_k-x_k_-_1)[/mm], weil das supremum ja 1 ist. Aber was mache ich jetzt?
Oder gibt es einen ebsseren weg.
vielen dank
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:16 Mi 27.04.2011 | | Autor: | fred97 |
> Beweisen sie, dass [mm]f(x)=\begin{cases} sin(\bruch{1}{x}), & \mbox{fuer } x \in (0,1]\\
0, & \mbox{fuer } x=0 \end{cases}[/mm]
> Riemann-Integrierbar ist.
>
> Ich komme mit den Definitionen nich so zurecht. habe es
> versucht mit der def. mit dem Unter- und Oberintegral, dass
> die beiden gegen den gleichen wert konvergieren müssen, um
> Riemann-Intergrierbar zu sein.
>
> Für die Untermenge also das Infinimum bekomme ich 0 raus
Zeig mal, wie Du das gemacht hast.
> und für das Oberintegrall
> [mm]\sum_{k=1}^{n} (x_k-x_k_-_1)[/mm],
Das kommt mir komisch vor !
> weil das supremum ja 1 ist.
> Aber was mache ich jetzt?
>
> Oder gibt es einen ebsseren weg.
Ja. Bezeichnungen: ist [a,b] ein Teilintervall von [0,1] und Z eine Zerlegung von [a,b], so bezeichne ich mit [mm] O_f(Z) [/mm] die zugeh. Obersumme und mit [mm] U_f(Z) [/mm] die zugeh. Untersumme.
Wir geben [mm] \varepsilon>0 [/mm] vor und wählen s [mm] \in [/mm] (0,1) so, dass 4s< [mm] \varepsilon [/mm] ausfällt.
f ist auf [s,1] stetig, also auf [s,1] auch Riemann- int.. Nach dem Riemannschen Integrabilitätskrit. gibt es eine Zerlegung [mm] Z_0 [/mm] von [s,1] mit:
[mm] O_f(Z_0)-U_f(Z_0) [/mm] < [mm] \varepsilon/2.
[/mm]
Setze $Z:= [mm] Z_0 \cup \{0\}$. [/mm] Dann ist Z eine Zerlegung von [0,1]. So jetzt bist Du gefordert: zeige:
[mm] O_f(Z)-U_f(Z) [/mm] < [mm] \varepsilon.
[/mm]
Nach dem Riemannschen Integrabilitätskrit. ist dann f R-int. bar über [0,1]
FRED
>
>
> vielen dank
>
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Ich versuche mal mein Glück, obwohl ich ehrlich sagen muss, dass ich die Definition so recht nicht verstehe.
[mm]O_f(Z)-U_f(Z) <\varepsilon[/mm] sein
[mm]O_f(Z)=[/mm][mm]\sum_{k=1}^{n} (x_k-x_k_-_1)*1[/mm], die 1 ist ja das supremum in meinem Fall
[mm]U_f(Z)=\sum_{k=1}^{n} (x_k-x_k_-_1)*0[/mm], die Null ist mein infinimum
Wenn ich dass jetzt richtig verstanden habe, kann ich meine Zerlegung Z mit [mm]\sum_{k=1}^{n} (x_k-x_k_-_1)[/mm], ja mein Intervall [mm]\left [ \ 0,1 ][/mm] direkt wählen, so ergibt sich für die Obersumme der Wert 1 und ich würde folgern mit:
[mm]O_f(Z)-U_f(Z) =1-0=1<\varepsilon[/mm]
Hoffe habs so einigermaßen richtig gemacht und bitte um korrektur.
Was mich etwas verwundert ist, dass wir in der volresung gesagt haben, dass die Obersumme sowie Untersumme gleich sein müssen, damit sie riemann. integ. sind . hier habe ich aber 1 und 0 raus.
vielen dank
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 16:40 Mi 27.04.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Ich versuche mal mein Glück, obwohl ich ehrlich sagen
> muss, dass ich die Definition so recht nicht verstehe.
>
> [mm]O_f(Z)-U_f(Z) <\varepsilon[/mm] sein
>
> [mm]O_f(Z)=[/mm][mm]\sum_{k=1}^{n} (x_k-x_k_-_1)*1[/mm], die 1 ist ja das
> supremum in meinem Fall
Das ist doch Quatsch !!! Wie kommst Du auf diesen Unsinn ?
> [mm]U_f(Z)=\sum_{k=1}^{n} (x_k-x_k_-_1)*0[/mm], die Null ist mein
> infinimum
Ebenfalls Quatsch !
>
> Wenn ich dass jetzt richtig verstanden habe, kann ich meine
> Zerlegung Z mit [mm]\sum_{k=1}^{n} (x_k-x_k_-_1)[/mm], ja mein
> Intervall [mm]\left [ \ 0,1 ][/mm] direkt wählen
Was meinst Du damit ?
> , so ergibt sich
> für die Obersumme der Wert 1 und ich würde folgern mit:
>
> [mm]O_f(Z)-U_f(Z) =1-0=1<\varepsilon[/mm]
Das ist doch alles totaler Blödsinn.
>
> Hoffe habs so einigermaßen richtig gemacht und bitte um
> korrektur.
Das lässt sich nicht korrigieren, denn Du hast keine Ahnung, was eine Obersumme, eine Untersumme ist, wie das R.-Integral def. ist, etc ....
Mach Dich also erst mal schlau.
> Was mich etwas verwundert ist, dass wir in der volresung
> gesagt haben, dass die Obersumme sowie Untersumme gleich
> sein müssen,
Unsinn !
Ich war nicht in Deiner Vorlessung, aber ich weiß:
in der Deiner Vorlesung wurde gesagt: oberes Integral = unteres Integral [mm] \Rightarrow [/mm] Riemann-int.
> damit sie riemann. integ. sind . hier habe
> ich aber 1 und 0 raus.
Das ist falsch
FRED
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> vielen dank
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