Ringisomorphismus < Moduln/Vektorraum < Lineare Algebra < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:48 Do 14.06.2012 | | Autor: | triad |
| Aufgabe | Zeigen Sie: Sind R ein euklidischer Ring, p, q Elemente in R mit ggT(p, q) = 1, so ist die Abbildung
[mm] $\varphi [/mm] :R/(pq)R [mm] \to [/mm] R/pR [mm] \times [/mm] R/qR$
[mm] \quad [/mm] $r + (pq)R [mm] \mapsto [/mm] (r + R/pR, r + R/qR)$
ein Ringisomorphismus. |
Hallo,
kann es sein, dass es in der Aufgabenstellung in der Abbildung statt "$r+(pq)R$" heißen müsste "$r+R/(pq)R$"?
$ggT(p,q)=1$ bedeutet ja, dass p und q teilerfremd sind.
Um zu zeigen, dass die Abbildung ein Ringisomorphismus ist, muss ich zeigen
[mm] \circ\;\varphi(a+b)=\varphi(a)+\varphi(b)
[/mm]
[mm] \circ\;\varphi(a*b)=\varphi(a)*\varphi(b)
[/mm]
[mm] \circ\;\varphi(1_{R/(pq)R})=1_{R/pR \times R/qR}
[/mm]
[mm] \circ\;\varphi [/mm] ist injektiv
[mm] \circ\;\varphi [/mm] ist surjektiv
[mm] \circ [/mm] noch irgendeine Abgeschlossenheit, die ich immer vergesse?
[mm] $\varphi(r+R/(pq)R [/mm] + s+R/(pq)R)=$
[mm] $\varphi((r+s)+(pq)R)= [/mm] $
$ ((r+s)+R/pR,(r+s)+R/qR)= $
$ (r+R/pR + s+R/pR,r+R/qR + s+R/qR)= $
$ (r+R/pR,r+R/qR)+(s+R/pR,s+R/qR)= $
[mm] $\varphi(r+R/(pq)R)+\varphi(s+R/(pq)R) \qquad \forall\; [/mm] r+R/(pq)R,s+R/(pq)R [mm] \in [/mm] R/(pq)R.$
Multiplikation geht hoffentlich genauso?
Einselement: [mm] \varphi(1_{R/(pq)R})=\varphi(1+R/(pq)R)=(1+R/pR, 1+R/qR)=1_{R/pR \times R/qR} [/mm] (?)
[mm] \varphi [/mm] ist injektiv: Seien [mm] r+R/(pq)R,s+R/(pq)R\in [/mm] R/(pq)R mit [mm] \varphi(r+R/(pq)R)=\varphi(s+R/(pq)R), [/mm] d.h. [mm] \varphi(r+R/(pq)R)-\varphi(s+R/(pq)R)=0 \Rightarrow \varphi(r+R/(pq)R [/mm] - s+R/(pq)R)=0 [mm] \Rightarrow [/mm] r+R/(pq)R - s+R/(pq)R [mm] \in Ker\varphi \Rightarrow [/mm] r+R/(pq)R = s+R/(pq)R, wenn man wüsste, dass [mm] \varphi [/mm] linear ist (dann bildet [mm] \varphi [/mm] die 0 auf 0 ab).
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:29 So 17.06.2012 | | Autor: | triad |
Mag jemand mal schauen, ob ich das richrig gemacht hab und ob ich $ ggT(p,q)=1 $ hier verwenden muss oder das nur zu den Voraussetzungen gehört?
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:46 So 17.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Das ist der Chinesische Restsatz. Natürlich braucht man da den ggT für die Wohldefiniertheit.
Sonst wäre [mm]\phi : \IZ/4\IZ \to \IZ/2\IZ \times \IZ/2\IZ[/mm] auch ein Isomorphismus, was er aber nicht ist!
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:42 So 17.06.2012 | | Autor: | wieschoo |
Ein Element in [mm]R/I\;[/mm] ist immer [mm]r+I\;[/mm], [mm] $r\in [/mm] R$
Dementsprechen ist
[mm]\phi: R/(pq)R\to R/pR \times R/qR[/mm]
mit
[mm]r+(pq)R\mapsto (r+pR,r+qR)[/mm]
Für den Spezialfall haben wir das hier behandelt:
https://matheraum.de/read?t=897254
und noch die Wohldefiniert gezeigt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:32 So 17.06.2012 | | Autor: | triad |
> Ein Element in [mm]R/I\;[/mm] ist immer [mm]r+I\;[/mm], [mm]r\in R[/mm]
>
> Dementsprechen ist
>
> [mm]\phi: R/(pq)R\to R/pR \times R/qR[/mm]
> mit
> [mm]r+(pq)R\mapsto (r+pR,r+qR)[/mm]
>
du hast recht, dann ist an der Stelle tatsächlich die Aufgabenstellung fehlerhaft
> Für den Spezialfall haben wir das hier behandelt:
> https://matheraum.de/read?t=897254
>
> und noch die Wohldefiniert gezeigt.
danke
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:20 So 17.06.2012 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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