Rotationskörper < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Berechne das Volumen des Körpers (Drehung um die x-Achse) der Funktion f im Intervall der beiden NST:
[mm] f(x)=\bruch{1}{3}x^3+x^2
[/mm]
Benutze die Formel [mm] V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{a}^{b}{(f(x))^2 dx} [/mm] |
Ich berechne erst die NST und setze f(x)=0
[mm] 0=\bruch{1}{3}x^3+x^2 [/mm] nach Ausklammern von [mm] x^2 [/mm] erhalte ich
[mm] 0=x^2(\bruch{1}{3}x+1) [/mm] die NST heißen also [mm] x_0_1=0 [/mm] und [mm] x_0_2=-3
[/mm]
Nun benutze ich die Formel:
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{-3}^{0}{(\bruch{1}{3}x^3+x^2)^2 dx}
[/mm]
nun löse ich die Potenz auf und multipliziere aus:
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi\integral_{-3}^{0}{(\bruch{1}{9}x^6+\bruch{2}{3}x^5+x^4)dx}
[/mm]
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi [\bruch{x^7}{63}+\bruch{x^6}{9}+\bruch{x^5}{5}]^0_{-3}
[/mm]
ist es soweit richtig ? Und wann und wo muesste ich bei derartigen Aufgaben Betragszeichen setzen ?
Schorsch
Ich habe diese Frage in keinem anderen Internetforum gestellt.
|
|
| |
|
| Aufgabe | Ich habe also noch folgendes auszurechnen:
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi [\bruch{x^7}{63}+\bruch{x^6}{9}+\bruch{x^5}{5}]^0_{-3} [/mm] |
Jetzt rechne ich wie folgt:
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi (0-(\bruch{(-3)^7}{63}+\bruch{(-3)^6}{9}+\bruch{(-3)^5}{5})
[/mm]
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi (0-(\bruch{-2187}{63}+\bruch{729}{9}+\bruch{-243}{5}))
[/mm]
nach Kürzen erhalte ich:
[mm] V_{Rotationskoerper}=\pi (0-(\bruch{-243}{7}+81+\bruch{-243}{5}))
[/mm]
jetzt noch den Nenner 35... und ich erhalte als Ergebnis:
[mm] V_{Rotationskoerper}= \bruch{81}{35}\pi
[/mm]
Ganz schöne Rechnerei aber man soll ja nicht alles den Computern überlassen...
Das mit den Betragszeichen kommt bestimmt in folgender Aufgabe vor:
Drehung von [mm] f(x)=x^2 [/mm] um die x-Achse, Schnittpunkte mit der geraden y=1 (g(x)=1.
Da muesste man doch die Differenz der Integrale F(x)-G(x) rotieren lassen, oder ?
Habe folgendes Integral aufgestellt:
[mm] V_R=\pi|\integral_{a}{^b}{(x^2-1)^2 dx}| [/mm] oder sind die Betragszeichen überflüssig ?
Schorsch
|
|
|
| |
|
Guten Abend Georg,
warum stellst du denn eine Differenzfunktion auf. So wie ich die Aufgabe verstehe, sollst du die Funktuin [mm] f(x)=x^2 [/mm] rotieren lassen. Die Gerade y=1 gibt dir nur die Integrationsgrenzen an.
Der Betrag ist überflüssig, bei jeder Rotation. [mm] |x|^2=x^2, [/mm] da brauchste kein Betrag.
d.h. für deine Aufgabe:
[mm] \integral_{-1}^{1}{(x^2)^2 dx}=\integral_{-1}^{1}{(x^4) dx}=[\bruch{1}{5}x^5]^1_-1=\bruch{1}{5}-(-1)*\bruch{1}{5}=\bruch{2}{5}
[/mm]
Zur Erklärung: Der Körper müsste die Form einer in der Mitte zusammengedrücken Zylinder haben...
Deine Differenzfunktion brauchst du nur denn, wenn es heißt "Rotation um die Gerade y=1". Es gibt auch die Möglichkeit um g(x)=x rotieren zu lassen, dann muss es heißen d(x)=f(x)-x.
lg Kai
|
|
|
| |
|
Danke für die Antwort, Kuemmelsche !
War wohl zu sehr noch bei den Flächenintegralen...Bisher hatte ich mich auch nur mit Aufgaben (Rotation um die x-Achse) beschäftigt.
Schorsch
|
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
