matheraum.de
Raum für Mathematik
Offene Informations- und Nachhilfegemeinschaft

Für Schüler, Studenten, Lehrer, Mathematik-Interessierte.
Hallo Gast!einloggen | registrieren ]
Startseite · Forum · Wissen · Kurse · Mitglieder · Team · Impressum
Navigation
 Startseite...
 Neuerdings beta neu
 Forum...
 vorwissen...
 vorkurse...
 Werkzeuge...
 Nachhilfevermittlung beta...
 Online-Spiele beta
 Suchen
 Verein...
 Impressum
Forenbaum
^ Forenbaum
Status Hochschulmathe
  Status Uni-Analysis
    Status Reelle Analysis
    Status UKomplx
    Status Uni-Kompl. Analysis
    Status Differentialgl.
    Status Maß/Integrat-Theorie
    Status Funktionalanalysis
    Status Transformationen
    Status UAnaSon
  Status Uni-Lin. Algebra
    Status Abbildungen
    Status ULinAGS
    Status Matrizen
    Status Determinanten
    Status Eigenwerte
    Status Skalarprodukte
    Status Moduln/Vektorraum
    Status Sonstiges
  Status Algebra+Zahlentheo.
    Status Algebra
    Status Zahlentheorie
  Status Diskrete Mathematik
    Status Diskrete Optimierung
    Status Graphentheorie
    Status Operations Research
    Status Relationen
  Status Fachdidaktik
  Status Finanz+Versicherung
    Status Uni-Finanzmathematik
    Status Uni-Versicherungsmat
  Status Logik+Mengenlehre
    Status Logik
    Status Mengenlehre
  Status Numerik
    Status Lin. Gleich.-systeme
    Status Nichtlineare Gleich.
    Status Interpol.+Approx.
    Status Integr.+Differenz.
    Status Eigenwertprobleme
    Status DGL
  Status Uni-Stochastik
    Status Kombinatorik
    Status math. Statistik
    Status Statistik (Anwend.)
    Status stoch. Analysis
    Status stoch. Prozesse
    Status Wahrscheinlichkeitstheorie
  Status Topologie+Geometrie
  Status Uni-Sonstiges

Gezeigt werden alle Foren bis zur Tiefe 2

Das Projekt
Server und Internetanbindung werden durch Spenden finanziert.
Organisiert wird das Projekt von unserem Koordinatorenteam.
Hunderte Mitglieder helfen ehrenamtlich in unseren moderierten Foren.
Anbieter der Seite ist der gemeinnützige Verein "Vorhilfe.de e.V.".
Partnerseiten
Weitere Fächer:

Open Source FunktionenplotterFunkyPlot: Kostenloser und quelloffener Funktionenplotter für Linux und andere Betriebssysteme
StartseiteMatheForenDifferentialgleichungenRunge Kutta
Foren für weitere Schulfächer findest Du auf www.vorhilfe.de z.B. Geschichte • Erdkunde • Sozialwissenschaften • Politik/Wirtschaft
Forum "Differentialgleichungen" - Runge Kutta
Runge Kutta < DGL < Numerik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien

Runge Kutta: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 18:27 Sa 14.02.2015
Autor: questionpeter

Aufgabe
Betrachte zur Lösung der Differentialgleichung y'=f(y) die implizite Mittelpunktsregel:

[mm] y_{n+1}=y_n+hf(\bruch{y_n+y_{n+1}}{2}) [/mm]

(a) Zeige, dass das Verfahren als implizites Runge Kutta verfahren aufgefasst werden kann.
Geben Sie die Runge Kutta Koeffizienten an.

(b) BEstimmen Sie die Ordnung des Verfahrens

Hallo zusammen,

Ich habe generell Probleme mit dem Runge Kutta verfahren und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.

Wir haben folge def für runge-Kutta (explizit) Algorithmus:

[mm] Y_1=y_0 \qquad \qquad \qquad \qquad Y'_1=f(t_0+c_1h,Y_1) [/mm]
[mm] Y_2=y_0+ha_{21}Y'_2 \qquad \quad Y'_2=f(t_0+c_2h,Y_2) [/mm]

[mm] \vdots \qquad \qquad \qquad \vdots [/mm]

[mm] Y_i=y_0+h\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}Y'_j \qquad Y'_i=f(t_0+c_jh,Y'_i) [/mm]  

Die mittelpunktsregel hat folgende
Anzahl der Knoten s=1
Knoten [mm] c_1=1/2 [/mm]
Gewichte [mm] b_1=1 [/mm]


Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke im voraus.



        
Bezug
Runge Kutta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 19:01 Sa 14.02.2015
Autor: MathePower

Hallo questionpeter,

> Betrachte zur Lösung der Differentialgleichung y'=f(y) die
> implizite Mittelpunktsregel:
>  
> [mm]y_{n+1}=y_n+hf(\bruch{y_n+y_{n+1}}{2})[/mm]
>  
> (a) Zeige, dass das Verfahren als implizites Runge Kutta
> verfahren aufgefasst werden kann.
>  Geben Sie die Runge Kutta Koeffizienten an.
>
> (b) BEstimmen Sie die Ordnung des Verfahrens
>  Hallo zusammen,
>  
> Ich habe generell Probleme mit dem Runge Kutta verfahren
> und hoffe ihr könnt mir weiterhelfen.
>  


Wenn Du Deine Probleme etwas näher beschreibst,
dann können wir Dir auch helfen.


> Wir haben folge def für runge-Kutta (explizit)
> Algorithmus:
>  
> [mm]Y_1=y_0 \qquad \qquad \qquad \qquad Y'_1=f(t_0+c_1h,Y_1)[/mm]
>  
> [mm]Y_2=y_0+ha_{21}Y'_2 \qquad \quad Y'_2=f(t_0+c_2h,Y_2)[/mm]
>  
> [mm]\vdots \qquad \qquad \qquad \vdots[/mm]
>  
> [mm]Y_i=y_0+h\summe_{j=1}^{i-1}a_{ij}Y'_j \qquad Y'_i=f(t_0+c_jh,Y'_i)[/mm]
>  
>
> Die mittelpunktsregel hat folgende
> Anzahl der Knoten s=1
>  Knoten [mm]c_1=1/2[/mm]
>  Gewichte [mm]b_1=1[/mm]
>  
>
> Kann mir da jemand weiterhelfen? Danke im voraus.
>  


Gruss
MathePower

Bezug
                
Bezug
Runge Kutta: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 20:22 Sa 14.02.2015
Autor: questionpeter

Das Problem ist dass im Skript nur von einem expliziten Runge Kutta verfahren steht und nichts über eine implizten RK-verfahren.

Worin unterscheiden sich sich?

Und mein zusätzliches Problem ist es auch wei ich meisten an die aufgaben herangehen.

ich hätte aufgrund dem wissen dass s=1, c=1/2

dass in den algorithmus eingesetzt nämlich

[mm] Y_1=y_0 [/mm]  und [mm] Y'_1=f(t_0+\bruch{h}{2},Y_1) [/mm]

Kannst du mir helfen, ich will es wirklich verstehen. Du kannst es auch anhand eines anderen Beispiel es mir erklären.

Bezug
                        
Bezug
Runge Kutta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 20:50 Sa 14.02.2015
Autor: MathePower

Hallo questionpeter,

> Das Problem ist dass im Skript nur von einem expliziten
> Runge Kutta verfahren steht und nichts über eine implizten
> RK-verfahren.
>  
> Worin unterscheiden sich sich?
>  


Siehe   z.B. []hier.


> Und mein zusätzliches Problem ist es auch wei ich meisten
> an die aufgaben herangehen.
>
> ich hätte aufgrund dem wissen dass s=1, c=1/2
>  
> dass in den algorithmus eingesetzt nämlich
>  
> [mm]Y_1=y_0[/mm]  und [mm]Y'_1=f(t_0+\bruch{h}{2},Y_1)[/mm]
>  
> Kannst du mir helfen, ich will es wirklich verstehen. Du
> kannst es auch anhand eines anderen Beispiel es mir
> erklären.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
Runge Kutta: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 21:23 Sa 14.02.2015
Autor: questionpeter

danke nochmal, aber
dadurch wurde noch nicht ganz mein problem beseitig wie ich dieses verfahre verwende

z.B hatte folgendes beispiel aus dem skript

[mm] y_1=y_0+hf(t_0+\bruch{h}{2},y_0+\bruch{h}{2}f(t_0,y_0)) [/mm] wobei der letzte Term einen Eulerschritt zur Schrittweite h/2 entspricht

damit erhalten sie folgenden Algorithmus:
[mm] Y_1=y_0 [/mm]
[mm] Y'_1=f(t_0,y_0) [/mm]
[mm] Y_2=y_0+\bruch{h}{2}Y'_1 [/mm]
[mm] Y'_2=f(t_0+\bruch{h}{2},Y_2) [/mm]

[mm] y_1=y_0+hY'_2 [/mm]

Man erhält dann ein 2-stufiges Verfahren mit folg koeffizienten
[mm] \vmat{ \vmat{ 0 \\ 1/2 }& \vmat{ 0 & 0 \\ 1/2 & 0 } \\ & \vmat{ 0 & 1} } [/mm]

ich verstehe einfach nicht wie sie auf dem algorithmus kommen. Egal wie lange ich an diesen Thema sitze und mich damit beschäftige, ich komme einfach nicht weiter.  kannst du mir evtl an diesen Beispiel sagen wie man zu diesen algorithmus kommt.  


Bezug
                                        
Bezug
Runge Kutta: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 21:53 Sa 14.02.2015
Autor: MathePower

Hallo questionpeter,

> danke nochmal, aber
> dadurch wurde noch nicht ganz mein problem beseitig wie ich
> dieses verfahre verwende
>  
> z.B hatte folgendes beispiel aus dem skript
>  
> [mm]y_1=y_0+hf(t_0+\bruch{h}{2},y_0+\bruch{h}{2}f(t_0,y_0))[/mm]
> wobei der letzte Term einen Eulerschritt zur Schrittweite
> h/2 entspricht
>  
> damit erhalten sie folgenden Algorithmus:
>  [mm]Y_1=y_0[/mm]
> [mm]Y'_1=f(t_0,y_0)[/mm]


Hier  müsste  dann stehen:

[mm]Y'_1=f(t_0,\blue{Y_{1}})[/mm]


>  [mm]Y_2=y_0+\bruch{h}{2}Y'_1[/mm]
>  [mm]Y'_2=f(t_0+\bruch{h}{2},Y_2)[/mm]
>  
> [mm]y_1=y_0+hY'_2[/mm]
>  


Schritt 1: [mm]Y_{1}=y_{0}[/mm]

Damit wird aus [mm]y_1=y_0+hf(t_0+\bruch{h}{2},y_0+\bruch{h}{2}f(t_0,y_0))[/mm]

[mm]y_1=y_{0}+hf(t_0+\bruch{h}{2},y_0+\bruch{h}{2}f(t_0,\blue{Y_{1}}))[/mm]


Schritt 2: [mm]Y'_1=f(t_0,Y_{1})[/mm]

Dann erhält man

[mm]y_1=y_{0}+hf(t_0+\bruch{h}{2},y_0+\bruch{h}{2}\blue{Y'_{1}})[/mm]

Schritt 3: [mm]Y_2=y_0+\bruch{h}{2}Y'_1[/mm]

Damit erhält man:

[mm]y_1=y_{0}+hf(t_0+\bruch{h}{2},\blue{Y_{2}})[/mm]

Schritt 4: [mm]Y'_2=f(t_0+\bruch{h}{2},Y_2)[/mm]

Dann wird daraus:

[mm]y_1=y_{0}+h\blue{Y'_{2}}[/mm]

Es wird mit der letzten Funktionsauswertung begonnen
und dann wird sich sukzessive nach vorne gearbeitet.


> Man erhält dann ein 2-stufiges Verfahren mit folg
> koeffizienten
>  [mm]\vmat{ \vmat{ 0 \\ 1/2 }& \vmat{ 0 & 0 \\ 1/2 & 0 } \\ & \vmat{ 0 & 1} }[/mm]
>  
> ich verstehe einfach nicht wie sie auf dem algorithmus
> kommen. Egal wie lange ich an diesen Thema sitze und mich
> damit beschäftige, ich komme einfach nicht weiter.  kannst
> du mir evtl an diesen Beispiel sagen wie man zu diesen
> algorithmus kommt.  
>  


Gruss
MathePower

Bezug
Ansicht: [ geschachtelt ] | ^ Forum "Differentialgleichungen"  | ^^ Alle Foren  | ^ Forenbaum  | Materialien


^ Seitenanfang ^
www.unimatheforum.de
[ Startseite | Forum | Wissen | Kurse | Mitglieder | Team | Impressum ]