Satz über die Umkehrfunktion < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | | Sei f : U [mm] \to \IR^{n} [/mm] der Klasse [mm] C^{1}, [/mm] U [mm] \subset \IR^{2} [/mm] offen und gelte det(Df(x)) [mm] \not= [/mm] 0 für alle x [mm] \in [/mm] U. Beweisen Sie, dass f(U) [mm] \subset \IR^{n} [/mm] eine offene Teilmenge ist |
Hallo,
Hier muss man also den Satz über die Umkehrfkt. anwenden
Die Bed. sind erfüllt also folgt
f: U [mm] \to [/mm] f(U) bijektiv und die Ukehrabbildung [mm] f^{-1} [/mm] ist [mm] C^{1}
[/mm]
aber wie komme ich nun darauf dass f(U) offen ist?
lg eddie
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:13 Mo 09.01.2012 | | Autor: | fred97 |
> Sei f : U [mm]\to \IR^{n}[/mm] der Klasse [mm]C^{1},[/mm] U [mm]\subset \IR^{2}[/mm]
> offen und gelte det(Df(x)) [mm]\not=[/mm] 0 für alle x [mm]\in[/mm] U.
> Beweisen Sie, dass f(U) [mm]\subset \IR^{n}[/mm] eine offene
> Teilmenge ist
> Hallo,
> Hier muss man also den Satz über die Umkehrfkt. anwenden
> Die Bed. sind erfüllt also folgt
> f: U [mm]\to[/mm] f(U) bijektiv und die Ukehrabbildung [mm]f^{-1}[/mm] ist
> [mm]C^{1}[/mm]
Nein , das gilt nicht. f muß auf U nicht injektiv sein !!!
>
> aber wie komme ich nun darauf dass f(U) offen ist?
Sei [mm] y_0 \in [/mm] f(U). Es ex. ein [mm] x_0 \in [/mm] U mit [mm] f(x_0)=y_0.
[/mm]
Es ist [mm] detf'(x_0) \ne [/mm] 0, also gibt es nach dem Satz über die Umkehrfunktion offene Mengen [mm] U_0 [/mm] und [mm] V_0 [/mm] mit:
[mm] x_0 \in U_0, y_0 \in V_0 [/mm] und [mm] f_{|U_0}:U_0 \to V_0 [/mm] ist bijektiv.
Damit ist [mm] V_0 [/mm] eine offene Umgebung von [mm] y_0 [/mm] mit:
[mm] V_0=f(U_0) \subset [/mm] f(U).
FRED
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> lg eddie
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