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Satz von Cayley-Hamilton: Tipp/idee
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 10:32 So 03.05.2009
Autor: Kinghenni

Aufgabe
Benutzen Sie den Satz von Cayley-Hamilton um die Inverse der Matrix
[mm] A=\pmat{ 3 & -6 \\ 4 & -5 } [/mm]
als Polynom in A auszudrücken.

hab garkeine ahnung wie ich da vorgehn muss :(

        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 10:46 So 03.05.2009
Autor: Nalewka

Guten Tag,

berechne zunächst das charakteristische Polynom der Matrix.

Also [mm] P(\lambda)=.... [/mm]

Und stelle dann [mm] P(\\A)=... [/mm] auf und setze dies dann Null. Dann die Umkehrabbildung bestimmen, wobei [mm] \\A [/mm] deine Matrix ist.

Nal

Bezug
                
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:03 So 03.05.2009
Autor: Kinghenni

danke für die antwort, aber ich habs nicht ganz verstanden
[mm] P(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+9 [/mm]

aber wie muss ich jetzt weiter machen?
A in [mm] \lambda [/mm] einsetzen, aber wie soll ich die +9 addieren?

Bezug
                        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:10 So 03.05.2009
Autor: Nalewka

Guten Tag,

> danke für die antwort, aber ich habs nicht ganz verstanden
>  [mm]P(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+9[/mm]
>  
> aber wie muss ich jetzt weiter machen?
>  A in [mm]\lambda[/mm] einsetzen, aber wie soll ich die +9 addieren?

Es ist dann [mm] \\P(A)=0 [/mm] zu setzen.

[mm] \\A^{2}+2A+9E=0 [/mm]   wobei [mm] \\E [/mm] die Einheitsmatrix ist.

Nal


Bezug
                                
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Satz von Cayley-Hamilton: Frage (reagiert)
Status: (Frage) reagiert/warte auf Reaktion Status 
Datum: 11:21 So 03.05.2009
Autor: Kinghenni

ok dann bin ich nochmal einen schritt weiter :)
so [mm] P(A)=\pmat{ 0 & 0 \\ 0 & 12 } [/mm]
jetzt sagtest du was von umkehrfunktion, da bräucht ich bitte nochmal hilfe

Bezug
                                
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:21 So 03.05.2009
Autor: fred97


> Guten Tag,
>  
> > danke für die antwort, aber ich habs nicht ganz verstanden
>  >  [mm]P(\lambda)=\lambda^2+2\lambda+9[/mm]
>  >  
> > aber wie muss ich jetzt weiter machen?
>  >  A in [mm]\lambda[/mm] einsetzen, aber wie soll ich die +9
> addieren?
>
> Es ist dann [mm]\\P(A)=0[/mm] zu setzen.


Das ist doch Unsinn ! Da gibts nichts zu setzen !

Nach dem Satz von Cayley Hamilton ist


[mm]\\P(A)=0[/mm]


FRED



>  
> [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm]   wobei [mm]\\E[/mm] die Einheitsmatrix ist.
>  
> Nal
>  


Bezug
                                        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 11:29 So 03.05.2009
Autor: Nalewka

Guten Tag,

>
> Das ist doch Unsinn ! Da gibts nichts zu setzen !
>  
> Nach dem Satz von Cayley Hamilton ist
>  
>
> [mm]\\P(A)=0[/mm]
>
>

Entschuldige bitte, da habe ich mich nur falsch ausgedrückt. Mir ist bekannt wie der Satz geht. Man muss nicht alles auf die goldene Waage legen.

> FRED
>  
>

Mel

>
> >  

> > [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm]   wobei [mm]\\E[/mm] die Einheitsmatrix ist.
>  >  
> > Nal
>  >  
>  


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Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Mitteilung
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 08:33 Mo 04.05.2009
Autor: fred97


> Guten Tag,
>  
> >
> > Das ist doch Unsinn ! Da gibts nichts zu setzen !
>  >  
> > Nach dem Satz von Cayley Hamilton ist
>  >  
> >
> > [mm]\\P(A)=0[/mm]
> >
> >
>
> Entschuldige bitte, da habe ich mich nur falsch
> ausgedrückt. Mir ist bekannt wie der Satz geht. Man muss
> nicht alles auf die goldene Waage legen.


In der Mathematik ist das aber ratsam

FRED





>  
> > FRED
>  >  
> >
>
> Mel
>  >

> > >  

> > > [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm]   wobei [mm]\\E[/mm] die Einheitsmatrix ist.
>  >  >  
> > > Nal
>  >  >  
> >  

>  


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Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:23 So 03.05.2009
Autor: fred97

Nach dem Satz von Cayley _ Hamilton ist


$ [mm] \\A^{2}+2A+9E=0 [/mm] $


Multipliziere dies mit [mm] A^{-1} [/mm] und Du hast  [mm] A^{-1} [/mm] vor der Nase



FRED

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Satz von Cayley-Hamilton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:29 So 03.05.2009
Autor: Kinghenni

danke fred für deine meinung,
aber was soll ich mit A^-1 multiplizieren???
die null? dann kommt doch null wieder raus
aber das bringt doch dann garnix???

Bezug
                        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:32 So 03.05.2009
Autor: angela.h.b.


> danke fred für deine meinung,

Hallo,

nun, eine "Meinung" war das nicht, sondern eher eine Gebrauchsanweisung.

>  aber was soll ich mit A^-1 multiplizieren???

Das hat er doch ganz deutlich gesagt: $ [mm] \\A^{2}+2A+9E=0 [/mm] $

>  die null? dann kommt doch null wieder raus
>  aber das bringt doch dann garnix???

Immerhin hat obige Gleichung ja zwei Seiten...

Jetzt mach's doch einfach mal. Was steht dann da? Anschauen, freuen, [mm] A^{-1} [/mm] freistellen.

Gruß v. Angela


Bezug
                                
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 11:47 So 03.05.2009
Autor: Kinghenni


> Das hat er doch ganz deutlich gesagt: [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm]
>  
> >  die null? dann kommt doch null wieder raus

>  >  aber das bringt doch dann garnix???
>
> Immerhin hat obige Gleichung ja zwei Seiten...

ja beide seiten sind doch gleich null?

> Jetzt mach's doch einfach mal. Was steht dann da?

ja ka wie, etwa [mm] A^2*A^{-1}+2A *A^{-1}+9E*A^{-1}????? [/mm]

> Anschauen, freuen, [mm]A^{-1}[/mm] freistellen.

und was bedeutet [mm]A^{-1}[/mm] freistellen.



Bezug
                                        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:56 So 03.05.2009
Autor: angela.h.b.


> > Das hat er doch ganz deutlich gesagt: [mm]\\A^{2}+2A+9E=0[/mm]
>  >  
> > >  die null? dann kommt doch null wieder raus

>  >  >  aber das bringt doch dann garnix???
> >
> > Immerhin hat obige Gleichung ja zwei Seiten...
>  ja beide seiten sind doch gleich null?

Hallo,

ja. Die Gleichheit beider Seiten ist der Witz bei Gleichungen...

Wenn ich die Gleichung 3x=15 lösen will, dann lege ich mich aber doch auch nicht ins Gras und sage: die sind doch eh beide =15.
Sondern ich bemühe mich, etwas übers x herauszufinden.

>  > Jetzt mach's doch einfach mal. Was steht dann da?

>  ja ka wie, etwa [mm]A^2*A^{-1}+2A *A^{-1}+9E*A^{-1}?????[/mm]

Nein.

Es steht dann da: [mm] A^2*A^{-1}+2A *A^{-1}+9E*A^{-1}\red{=A^{-1}*0=0} [/mm]

Jetzt bearbeite die linke Seite. Was bedeutet [mm] A^2? [/mm] Was ist  [mm] A*A^{-1}? [/mm] Was ist [mm] E*A^{-1}. [/mm] Das hilft.


>  und was bedeutet [mm]A^{-1}[/mm] freistellen.

Die Gleichung so umformen, daß [mm] A^{-1} [/mm] alleine auf einer Seite steht.

Gruß v. Angela

>  
>  


Bezug
                                                
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 12:07 So 03.05.2009
Autor: Kinghenni


> Es steht dann da: [mm]A^2*A^{-1}+2A *A^{-1}+9E*A^{-1}\red{=A^{-1}*0=0}[/mm]
>  
> Jetzt bearbeite die linke Seite. Was bedeutet [mm]A^2?[/mm] Was ist  
> [mm]A*A^{-1}?[/mm] Was ist [mm]E*A^{-1}.[/mm] Das hilft.

also [mm]A^2[/mm][mm] *A^{-1}=A [/mm]
[mm][mm] A*A^{-1}=E [/mm]
[mm] E*A^{-1}=A^{-1} [/mm]
dh also [mm] A^{-1}=\bruch{A+2E}{9} [/mm] ???
aber das wär ja kein polynom wie in der aufgabe gefordert??


Bezug
                                                        
Bezug
Satz von Cayley-Hamilton: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 12:14 So 03.05.2009
Autor: angela.h.b.


> dh also [mm]A^{-1}=\red{-}\bruch{A+2E}{9}[/mm] ???

Na also! geht doch!

> aber das wär ja kein polynom wie in der aufgabe gefordert??

Doch. Frisiere etwas, dann steht da [mm]A^{-1}=-\bruch{1}{9}A-\bruch{2}{9}E[/mm] .

Das ist doch ein Polynom in A. Du hast [mm] A^{-1} [/mm] also Summe von Vielfachen von Potenzen von A  geschreiben.

Gruß v. Angela


  


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