Satz von Moivre? < komplexe Zahlen < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Bezechnen und zeichnen Sie:
[mm] \wurzel[]{-i} [/mm] |
Hallo,
kann mir jemand sagen ob diese Lösung richtig ist und wenn nein warum nicht. Laut der Lösung des Übungsleiters ist es nicht richtig, denn er bekommt andere Ergebnisse, aber seine Lösung verstehe ich nicht, und habe versucht die Aufgabe selber zu lösen:
bei der zahl ohne Potenz 1/2 sprich Wurzel ist a=0 und b=-1.
[mm] r=\wurzel[]{2}, [/mm] und [mm] b=r.sin(\alpha)
[/mm]
-1= [mm] \wurzel[]{2}.sin(\alpha)
[/mm]
[mm] sin(\alpha)= -2/\wurzel[]{2}
[/mm]
das heißt [mm] (\alpha)= \bruch{5\pi}{4} [/mm] oder [mm] \bruch{7\pi}{4}
[/mm]
OK, nun wollen wir aber die zahl im Wurzel und dafür sollte es laut Moivre die Formel geben:
[mm] x^{n}=e^{in\alpha}
[/mm]
also mit Potenz n=1/2 entspricht Wurzel bekomme ich für
[mm] (\alpha)= \bruch{5\pi}{4}: e^{i\bruch{5\pi}{8}}
[/mm]
und für
[mm] (\alpha)= \bruch{7\pi}{4}: e^{i\bruch{7\pi}{8}}
[/mm]
Nun, der Übungsleiter hat als Lösungen [mm] e^{i\bruch{3\pi}{4}} [/mm] und [mm] e^{i\bruch{7\pi}{4}}
[/mm]
Was mache ich falsch und wie macht man es richtig? Seine Lösung kann ich am Anfang überhaupt nicht verstehen, er fängt so an:
[mm] \wurzel[]{-i}=\wurzel[]{e^{-90}}=\wurzel[]{e^{i\bruch{-\pi}{2}}}= e^{i\bruch{-\pi}{4}} [/mm] enspricht [mm] e^{i\bruch{7\pi}{4}} [/mm]
Der Anfang [mm] \wurzel[]{-i}=\wurzel[]{e^{-90}} [/mm] ist mir total unklar..
Gruss
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:29 Do 19.07.2012 | | Autor: | meili |
Hallo,
> Bezechnen und zeichnen Sie:
> [mm]\wurzel[]{-i}[/mm]
> Hallo,
> kann mir jemand sagen ob diese Lösung richtig ist und wenn
> nein warum nicht. Laut der Lösung des Übungsleiters ist
> es nicht richtig, denn er bekommt andere Ergebnisse, aber
> seine Lösung verstehe ich nicht, und habe versucht die
> Aufgabe selber zu lösen:
> bei der zahl ohne Potenz 1/2 sprich Wurzel ist a=0 und
> b=-1.
Ok, wenn Du -i in der Form a+ib schreibst, ist a=0 und b=-1.
Wenn Du -i in der Form [mm] $r*(\cos \alpha [/mm] + i [mm] \sin \alpha)$ [/mm] darstellen willst,
ist r=1 und [mm] $\alpha [/mm] = [mm] \bruch{3}{2}*\pi$ [/mm] oder [mm] $\alpha [/mm] = [mm] -\bruch{\pi}{2}$.
[/mm]
Vergleiche ![[]](/images/popup.gif) erstes Bild rechtsEingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
.
Also $-i = e^{\bruch{3\pi}{2}i$ oder $-i = e^{-\bruch{\pi}{2}i$
> [mm]r=\wurzel[]{2},[/mm] und [mm]b=r.sin(\alpha)[/mm]
Wieso [mm]r=\wurzel[]{2},[/mm] ?
> -1= [mm]\wurzel[]{2}.sin(\alpha)[/mm]
> [mm]sin(\alpha)= -2/\wurzel[]{2}[/mm]
Das verstehe ich nicht.
> das heißt [mm](\alpha)= \bruch{5\pi}{4}[/mm]
> oder [mm]\bruch{7\pi}{4}[/mm]
> OK, nun wollen wir aber die zahl im Wurzel und dafür
> sollte es laut Moivre die Formel geben:
> [mm]x^{n}=e^{in\alpha}[/mm]
> also mit Potenz n=1/2 entspricht Wurzel bekomme ich für
> [mm](\alpha)= \bruch{5\pi}{4}: e^{i\bruch{5\pi}{8}}[/mm]
> und für
> [mm](\alpha)= \bruch{7\pi}{4}: e^{i\bruch{7\pi}{8}}[/mm]
>
> Nun, der Übungsleiter hat als Lösungen
> [mm]e^{i\bruch{3\pi}{4}}[/mm] und [mm]e^{i\bruch{7\pi}{4}}[/mm]
> Was mache ich falsch und wie macht man es richtig? Seine
> Lösung kann ich am Anfang überhaupt nicht verstehen, er
> fängt so an:
>
> [mm]\wurzel[]{-i}=\wurzel[]{e^{-90}}=\wurzel[]{e^{i\bruch{-\pi}{2}}}= e^{i\bruch{-\pi}{4}}[/mm]
> enspricht [mm]e^{i\bruch{7\pi}{4}}[/mm]
> Der Anfang [mm]\wurzel[]{-i}=\wurzel[]{e^{-90}}[/mm] ist mir total
> unklar..
> Gruss
Gruß
meili
|
|
|
| |
|
Hallo,
danke für die Antwort. Ich habe mich verrechnet. r=1 und nicht [mm] r=\wurzel[]{2}. [/mm] Ich rechne r gerne so: [mm] r=\wurzel[]{a^{2}+b^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel[]{0^{2}+(-1)^{2}} [/mm] = [mm] \wurzel[]{1} [/mm] = 1
Das erklärt die Lösung: [mm] e^{i\bruch{3}{4}\pi}
[/mm]
Was ist aber mit der zweiten Lösung: [mm] e^{i\bruch{7}{4}\pi}? [/mm] Wie kommt das?
Gruss
|
|
|
| |
|
Hallo matheonline,
> Hallo,
>
> danke für die Antwort. Ich habe mich verrechnet. r=1 und
> nicht [mm]r=\wurzel[]{2}.[/mm] Ich rechne r gerne so:
> [mm]r=\wurzel[]{a^{2}+b^{2}}[/mm] = [mm]\wurzel[]{0^{2}+(-1)^{2}}[/mm] =
> [mm]\wurzel[]{1}[/mm] = 1
> Das erklärt die Lösung: [mm]e^{i\bruch{3}{4}\pi}[/mm]
>
> Was ist aber mit der zweiten Lösung: [mm]e^{i\bruch{7}{4}\pi}?[/mm]
> Wie kommt das?
>
In Exponentialform ergibt sich:
[mm]-i=e^{i*\bruch{3*\pi}{2}}[/mm]
Wegen der Periodizität der Exponentialfunktion im Komplexen
kann dies auch so geschrieben werden:
[mm]-i=e^{i*\left(\bruch{3*\pi}{2}+2*k*\pi\right)}, \ k \in \IZ[/mm]
Wird nun die Wurzel daraus gezogen, so ergibt sich schliesslich
[mm]\wurzel{-i}=e^{i\bruch{\bruch{3*\pi}{2}+2*k*\pi}{2}}, \ k \in \IZ[/mm]
[mm]\Rightarrow \wurzel{-i}=e^{i\left(\bruch{3*\pi}{4}+k*\pi\right)}, \ k \in \IZ[/mm]
Hier beschränkt man sich auf k=0,1,
da alle anderen k wieder dieselben Lösungen liefern.
Damit ergibt sich:
[mm]k=0:e^{i\left(\bruch{3*\pi}{4}+0*\pi\right)}=e^{i\bruch{3*\pi}{4}}[/mm]
[mm]k=1:e^{i\left(\bruch{3*\pi}{4}+1*\pi\right)}=e^{i\bruch{7*\pi}{4}}[/mm]
> Gruss
Gruss
MathePower
|
|
|
| |
|
Danke MathePower, sehr verständlich erklärt! :)
|
|
|
|
