Schnittgerade zweier Ebenen < Vektoren < Lin. Algebra/Vektor < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 20:06 So 28.05.2006 | | Autor: | esa |
| Aufgabe | E1: [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} [/mm] + r [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} [/mm] + s [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix}
[/mm]
E2 : [mm] \begin{pmatrix} 4 \\ 2 \\ 7 \end{pmatrix} [/mm] + p [mm] \begin{pmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{pmatrix} [/mm] + t [mm] \begin{pmatrix} 1 \\ -3 \\ 0 \end{pmatrix} [/mm] |
Ich soll die Schnittgerade der Ebene1 und der Ebene2 bestimmen.
dazu habe ich auch schon drei gleichungen aufgestellt:
1.) 2p + t - 2r - s = -2
2.) 3p - 3t -2s = 0
3.) 4p -5r -3s = -5
ich bin mir allerdings nie sicher wo ich anfangen soll. Ich hab versucht die drei gleichungen untereinander mit dem additionsverfahren von 3 oder 4 auf 2 zu reduzieren, allerdings kam dann immer eine neue dazu.
Vielleicht kann mir jemand einen kleinen tipp geben wo ich anfangen soll. Unsere lehrerin hat uns auch drei lösungen aufgeschrieben:
p= -t , r = t+1; s = -3t
ich sitz jetzt seit 16 uhr an dieser aufgabe und komme bei allem hin und her rechnen nie auf die lösung der lehrerin.
danke schonmal!
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:34 So 28.05.2006 | | Autor: | goeba |
Hi,
ein Tipp: Du musst so addieren bzw. subtrahieren, dass sich zweimal die Gleiche Variable heraushebt.
Also hier im Beispiel:
2 * die erste Gleichung Minus die zweite Gleichung
3 * die erste Gleichung Minus die dritte Gleichung
Dann hast Du zwei Gleichungen ohne s.
Die formst Du nochmal um und addierst so, dass eine weitere Variable herausfällt. Das solltest Du so machen, dass die beiden Variablen die übrig sind, in _einer_ Ebenengleichung stehen.
Dann formst Du nach einer dieser beiden Variablen um und ersetzt sie dann in der Ebenengleichung. Dann erhälst Du eine Geradengleichung.
Um Dein Ergebnis optisch zu überprüfen, nimmst Du mein Geometrieprogramm Archimedes Geo3D (www.raumgeometrie.de), gibst die beiden Ebenen ein (bei typische Aufgaben) und bestimmst die Schnittgerade (Gerade - Schnitt zweier Ebenen).
Dann kannst DU die errechnete Gerade eingeben (auch bei typische Aufgaben) und vergleichen.
Ich sehe nicht den Sinn darin, Dir das vorzurechnen. Ich hoffe aber, die Tipps waren genau genug.
Viele Grüße,
Andreas
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:03 So 28.05.2006 | | Autor: | hase-hh |
moin,
du bringst das gleichungssystem auf die sog. dreiecksform.
1.Schritt 1. Spalte (hier p, auf "null bringen; in gleichung II und III)
4p + 2t - 4r -2s = -4 (2*I - III)
-4p + 0 +5r +3s = 5
-------------------------
0 + 2t + r + s = 1
6p +3t -6r -3s = -6 (3*I - 2*II)
-6p +6t +0 +4s = 0
------------------------
0 + 9t -6r +s = -6
jetzt hat das gleichungssystem folgendes aussehen:
2p + t -2r -s = -2
0 + 2t + r +s = 1
0 + 9t -6r +s = -6
2. Schritt: 2. Spalte (hier t, auf "null" bringen; in gleichung III)
0 + 18t + 9r + 9s = 9 (9*II - 2*III)
0 -18t +12r -2s = 12
---------------------------
0 + 0 + 21r + 7s = 21
21r + 7s = 21
=> s = 3 - 3r
ergebnis einsetzen in gleichung II
0 + 2t + r + s = 1
2t + r + 3 -3r = 1
=> r = t + 1
und damit auch s = 3 -3r = 3 - 3(t+1) = - 3t
ergebnisse einsetzen in gleichung I
2p + t -2r -s = -2
2p + t -2(t+1) -(-3t) = -2
2p + t -2t -2 +3t = -2
2p +2t = 0
=> p = -t
gruss
wolfgang
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