Schnittkurve 2er Ebenen < mehrere Veränderl. < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:28 Fr 06.07.2007 | | Autor: | Carlchen |
| Aufgabe | | Gesucht sind der höchste und der tiefste Punkt der Schnittkurve, die entsteht, wenn das elliptische Paraboloid [mm]z=x^2+4y^2[/mm] von der Ebene [mm]4x-8y-z+24[/mm] geschnitten wird. |
Hi Leute,
Im Allgemeinen ist es doch so, dass man die beiden Ebenen gleichsetzt, wenn man die Schnittkurve berechnen möchte, oder?
Das habe ich mal gemacht (z=z) und folgendes raus:
[mm]G(x,y)=0=x^2+4y^2-4x+8y-24[/mm]
Nun hab ich jeweils die partiellen Ableitungen nach x und y berechnet, um stationäre Punkte rauszufinden:
[mm]\bruch{\partial G}{\partial x} = 2x-4=0 \Rightarrow x=\bruch{1}{2}[/mm]
[mm]\bruch{\partial G}{\partial y} = 8y+8=0 \Rightarrow y=-1[/mm]
Das haut doch aber nicht hin, da die Schnittkurve (veranschaulicht durch Derive) eine Ellipse ist und auf jeden Fall einen höchsten und tiefsten Punkt hat.
Eine andere Überlegung von mir wäre bei diesem Problem die Randextrema zu betrachten, nur hab ich dafür keinen Ansatz.
Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könntet.
Grüße Carlchen
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Hi Carlchen,
> Gesucht sind der höchste und der tiefste Punkt der
> Schnittkurve, die entsteht, wenn das elliptische Paraboloid
> [mm]z=x^2+4y^2[/mm] von der Ebene [mm]4x-8y-z+24[/mm] geschnitten wird.
> Hi Leute,
>
> Im Allgemeinen ist es doch so, dass man die beiden Ebenen
> gleichsetzt, wenn man die Schnittkurve berechnen möchte,
> oder?
> Das habe ich mal gemacht (z=z) und folgendes raus:
>
> [mm]G(x,y)=0=x^2+4y^2-4x+8y-24[/mm]
>
> Nun hab ich jeweils die partiellen Ableitungen nach x und y
> berechnet, um stationäre Punkte rauszufinden:
>
> [mm]\bruch{\partial G}{\partial x} = 2x-4=0 \Rightarrow x=\bruch{1}{2}[/mm]
>
> [mm]\bruch{\partial G}{\partial y} = 8y+8=0 \Rightarrow y=-1[/mm]
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> Das haut doch aber nicht hin, da die Schnittkurve
> (veranschaulicht durch Derive) eine Ellipse ist und auf
> jeden Fall einen höchsten und tiefsten Punkt hat.
Zunächst einmal musst du dir überlegen, was höchster oder tiefster punkt eigentlich bedeutet. In einem 3D koordinatensystem (x-y-z) deutet man normalerweise die z-koordinate als abhängig oder 'die höhe'. Der höchste punkt ist also vermutlich bzgl. der z-koordinate zu bestimmen.
Die Kurve, deren implizite darstellung du bestimmt hast (G(x,y)=0) ist also eigentlich die projektion der schnittkurve auf die x-y ebene.
zu tun ist folgendes: bestimme aus der impliziten darstellung der kurve eine explizite (y=f(x) oder x=g(y)) das sollte mittels p-q-formel möglich sein.
diese kurve setzt du dann in eine der ebenen ein und optimierst die z-koordinate.
Klar?
VG
matthias
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> Eine andere Überlegung von mir wäre bei diesem Problem die
> Randextrema zu betrachten, nur hab ich dafür keinen
> Ansatz.
> Ich würde mich freuen, wenn mir jemand helfen könntet.
>
> Grüße Carlchen
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