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Schw. Gesetz der Großen Zahlen: Idee, Tipp
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Di 17.01.2012
Autor: ella87

Aufgabe
Es seien [mm]X1 ,...,X_n [/mm] Zufallsvariablen mit [mm]E(X_i )=\mu[/mm] und [mm]Var(X_i )=\sigma ^2[/mm] für [mm]i \in \{1,...n\}[/mm].
Zudem existiert ein [mm]k \in \IN[/mm], sodass [mm]Cov(X_i ,X_j )=0[/mm] für [mm]|i-j| \ge k[/mm].
Zeigen Sie:
[mm]\forall \epsilon > 0[/mm]

[mm]\limes_{n\rightarrow\infty} P(|\overline{X_n }-\mu | \ge \epsilon ) =0[/mm]

Tipp: Cauchy-Schwarz`sche-Ungleichung

ich komme irgendwie nicht weiter....

Da steht ja fast das schwache Gesetz der großen Zahlen. Nur die Bedingung, dass die ZV stoch. unabh. sind fehlt.

Von daher müsste der Beweis ganz ähnlich wie der des Satzes gehen, also über die Chebshev-Ungleichung.
So weit so gut.

ich brauche also [mm][mm] Var(\overline{X_n }) [/mm]

[mm]Var(\overline{X_n })=Var( 1/n \summe_{i=1}^{n}X_i )=\bruch{1}{n^2}Var(\summe_{i=1}^{n}X_i )[/mm]

hier kann ich jetzt nicht wie bei dem Satz mit der unabhängigkeit arbeiten,also:

[mm]=\bruch{1}{n^2} (\summe_{i=1}^{n} Var(X_i) + 2\summe_{0\le i
[mm]\summe_{i=1}^{n} Var(X_i)= n \sigma^2[/mm], aber was ist [mm]\summe_{0\le i
ich weiß, dass [mm]Cov(X_i ,X_j )=E(X_i, X_j )-\mu ^2[/mm] ist für [mm]|i-j|< k[/mm]

allerdings sehe ich nicht, dass mir das irgendwie weiter hilft und ich sehe auch nicht, wo mir die Cauchy-Schwarz-Ungleichung helfen kann...
was hab ich üersehen?

        
Bezug
Schw. Gesetz der Großen Zahlen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 09:19 Mi 18.01.2012
Autor: luis52

Moin,

du hast schon erkannt, dass es [mm] genuegt,$\lim_{n\to\infty}\operatorname{Var}[\bar [/mm] X]=0$ zu zeigen. Vielleicht hilft die folgenden Ueberlegung:

[mm] $\operatorname{Var}[\bar X]=\frac{1}{n^2}\operatorname{Var}[\sum_{i=1}^n X_i]=\frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n\operatorname{Cov}[X_i,X_j]= \frac{1}{n^2}\sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^nc_{ij}$ [/mm]

und [mm] $|c_{ij}|\le\sigma^2$. [/mm]


vg Luis


Bezug
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