Schwingungsüberlagerung < Sonstiges < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 12:50 Mo 09.07.2007 | | Autor: | ex.aveal |
| Aufgabe | Bestimmen Sie A und [mm] \alpha_{0} [/mm] aus
i(t) = A sin (wt + [mm] \alpha_{0}) [/mm] = sin (wt) + 2 cos (wt + [mm] \bruch{\pi}{3}) [/mm] + [mm] \wurzel{2} [/mm] sin (wt - [mm] \bruch{\pi}{4}) [/mm] |
Hy.
Wir haben leider keinen blassen Schimmer, wie wir an diese Aufgabe rangehen müssen. Wir müssen diese 3 Schwingungen überlagern. Als erstes haben wir den cos natürlich in sin umgewandelt (+90°).
Das wars dann aber auch.
Superposition haben wir in der Formelsammlung nachgeschlagen, kommen aber auch nicht weiter.
Bitte um Hilfe, danke!
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 13:22 Mo 09.07.2007 | | Autor: | leduart |
Hallo
> Bestimmen Sie A und [mm]\alpha_{0}[/mm] aus
>
> i(t) = A sin (wt + [mm]\alpha_{0})[/mm] = sin (wt) + 2 cos (wt +
> [mm]\bruch{\pi}{3})[/mm] + [mm]\wurzel{2}[/mm] sin (wt - [mm]\bruch{\pi}{4})[/mm]
> Hy.
>
> Wir haben leider keinen blassen Schimmer, wie wir an diese
> Aufgabe rangehen müssen. Wir müssen diese 3 Schwingungen
> überlagern. Als erstes haben wir den cos natürlich in sin
> umgewandelt (+90°).
> Das wars dann aber auch.
das ist unn;tig, aber egal. die 2 Ausdrücke : 2 cos (wt +
> [mm]\bruch{\pi}{3})[/mm] und [mm]\wurzel{2}[/mm] sin (wt - [mm]\bruch{\pi}{4})[/mm]
mit Additionstheorem in sinwt*... und coswt*... verwandeln.
Dann alles mit sinwt sammeln und mit coswt. dann habt ihr: sinwt*(...)+coswt*(....)=A*sinwt+B*coswt
Wenn ihr ein Zeigerdiagramm kennt zeichnet A*sin als Pfeil und dazu senkrcht B*cos.
die Addition ist ein Pfeil der Länge [mm] \wurzel{A^2+B^2} der [/mm] vor dem sin mit dem Winkel [mm] \alpha [/mm] herläuft, mit [mm] tan\alpha=B/A
[/mm]
Wenn ihr mit Pfeiladdition nicht gearbitet habt, muss man Asinwt+Bcoswt auf die Form [mm] C*(sinwtcos\alpa+coswtsin\alpha [/mm] bringen.
dazu [mm] \wurzel{A^2+B^2} [/mm] ausklammern ,
also Asinwt+Bcoswt = [mm] \wurzel{A^2+B^2}*(A/\wurzel{A^2+B^2}*sinwt [/mm] + B/ [mm] \wurzel{A^2+B^2} [/mm] coswt) was in der Klammer steht kann man jetzt als Additionstheorem sehen , mit B/ [mm] \wurzel{A^2+B^2}=sin\alpha [/mm] und A/ [mm] \wurzel{A^2+B^2}=cos\alpha
[/mm]
(Grund, das Quadrat [mm] sin^2\alpha+cos^2\alpha=1; [/mm] drum mussten wir die Wurzel ausklammern!)
so und damit habt ihr [mm] \alpha, [/mm] und dann eben
[mm] Asinwt+Bcoswt= \wurzel{A^2+B^2}*(sinwt+\alpha)
[/mm]
fraft nach, wenn noch was unklar is.
Gruss leduart
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