Separables&rein insep. Element < Gruppe, Ring, Körper < Algebra < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 11:05 Di 08.03.2011 | | Autor: | Lippel |
| Aufgabe | Sei [mm] $L/K\:$ [/mm] eine Körpererweiterung, sei [mm] $\alpha \in [/mm] L$ separabel über K, sowie [mm] $\beta \in [/mm] L$ rein inseparabel über K.
Man zeige: [mm] $K(\alpha, \beta)=K(\alpha+\beta)$ [/mm] |
Hallo,
ich nehme an, dass die Aufgabe gar nicht so schwer ist, ich komme aber auf keinen Ansatz. Was ich weiß:
Zuerst einmal ist natürlich [mm] $K(\alpha+\beta) \subset K(\alpha,\beta)$.
[/mm]
[mm] $min_K(\alpha)$ [/mm] hat nur einfache Nullstellen in einem algebraischen Abschluss von K, [mm] $min_K(\beta)$ [/mm] ist von der Form [mm] $X^{p^n}-c$ [/mm] mit $n [mm] \in \IN, [/mm] c [mm] \in [/mm] K$. Aber ich wüsste nicht, wie ich damit eine Aussage über das Minimalpolynom von [mm] $\alpha+\beta$ [/mm] treffen könnte.
Es gilt außerdem: [mm] $[K(\alpha):K]_s=[K(\alpha):K]$ [/mm] und [mm] $[K(\beta):K]_s=1$. [/mm] Damit folgt: [mm] $[K(\alpha,\beta):K]_s [/mm] = [mm] [K(\alpha,\beta):K(\beta)]_s[K(\beta):K]_s [/mm] = [mm] [K(\alpha,\beta):K(\beta)]_s$.
[/mm]
Aber irgendwie bringt mich das alles nicht weiter.
Kann mir jemand einen Tipp geben?
LG Lippel
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 00:35 Mi 09.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Sei [mm]L/K\:[/mm] eine Körpererweiterung, sei [mm]\alpha \in L[/mm]
> separabel über K, sowie [mm]\beta \in L[/mm] rein inseparabel über
> K.
>
> Man zeige: [mm]K(\alpha, \beta)=K(\alpha+\beta)[/mm]
> Hallo,
>
> ich nehme an, dass die Aufgabe gar nicht so schwer ist, ich
> komme aber auf keinen Ansatz. Was ich weiß:
>
> Zuerst einmal ist natürlich [mm]K(\alpha+\beta) \subset K(\alpha,\beta)[/mm].
>
> [mm]min_K(\alpha)[/mm] hat nur einfache Nullstellen in einem
> algebraischen Abschluss von K, [mm]min_K(\beta)[/mm] ist von der
> Form [mm]X^{p^n}-c[/mm] mit [mm]n \in \IN, c \in K[/mm]. Aber ich wüsste
> nicht, wie ich damit eine Aussage über das Minimalpolynom
> von [mm]\alpha+\beta[/mm] treffen könnte.
>
> Es gilt außerdem: [mm][K(\alpha):K]_s=[K(\alpha):K][/mm] und
> [mm][K(\beta):K]_s=1[/mm]. Damit folgt: [mm][K(\alpha,\beta):K]_s = [K(\alpha,\beta):K(\beta)]_s[K(\beta):K]_s = [K(\alpha,\beta):K(\beta)]_s[/mm].
>
> Aber irgendwie bringt mich das alles nicht weiter.
>
> Kann mir jemand einen Tipp geben?
Du weisst doch (mittlerweile :) ) [mm] $\alpha$ [/mm] separabel [mm] $\Leftrightarrow K(\alpha) [/mm] = [mm] K(\alpha^p)$.
[/mm]
Jetzt ist [mm] $(\alpha [/mm] + [mm] \beta)^{p^n} [/mm] = [mm] \alpha^{p^n} [/mm] + [mm] \beta^{p^n} [/mm] = [mm] \alpha^{p^n} [/mm] + c$ mit $c [mm] \in [/mm] K$. Kommst du damit weiter?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:03 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Morgen,
> Du weisst doch (mittlerweile :) ) [mm]\alpha[/mm] separabel
> [mm]\Leftrightarrow K(\alpha) = K(\alpha^p)[/mm].
>
> Jetzt ist [mm](\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \alpha^{p^n} + c[/mm]
> mit [mm]c \in K[/mm]. Kommst du damit weiter?
Ich fürchte ich kann deinen Tipp noch nicht so ganz umsetzen. Was ich daraus erkenne: [mm] $min_{K(\alpha+\beta)}(\alpha^p) \:|\: X^{p^{n-1}}-(\alpha+\beta)^{p^n}-c \Rightarrow [K(\alpha^p):K(\alpha+\beta)] \leq p^{n-1} \Richtarrow$ [/mm] da [mm] $K(\alpha) [/mm] = [mm] K(\alpha^p): [K(\alpha):K(\alpha+\beta)] \leq p^{n-1}$
[/mm]
Andersrum könnte ich aus [mm] $(\alpha [/mm] + [mm] \beta)^{p^n} [/mm] = [mm] \alpha^{p^n} [/mm] + c$ folgern, dass [mm] $min_{K_\alpha}(\alpha+\beta) \:|\: X^{p^n}-\alpha^p^n-c$.
[/mm]
Aber bei beidem dreht man sich ja völlig im Kreis, das kann also irgendwie nicht weiter führen.
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:57 Mi 09.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> > Du weisst doch (mittlerweile :) ) [mm]\alpha[/mm] separabel
> > [mm]\Leftrightarrow K(\alpha) = K(\alpha^p)[/mm].
> >
> > Jetzt ist [mm](\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \alpha^{p^n} + c[/mm]
> > mit [mm]c \in K[/mm]. Kommst du damit weiter?
>
> Ich fürchte ich kann deinen Tipp noch nicht so ganz
> umsetzen. Was ich daraus erkenne:
> [mm]min_{K(\alpha+\beta)}(\alpha^p) \:|\: X^{p^{n-1}}-(\alpha+\beta)^{p^n}-c \Rightarrow [K(\alpha^p):K(\alpha+\beta)] \leq p^{n-1} \Richtarrow[/mm]
> da [mm]K(\alpha) = K(\alpha^p): [K(\alpha):K(\alpha+\beta)] \leq p^{n-1}[/mm]
Ich glaub das bringt dir nichts.
Daraus folgt doch [mm] $K(\alpha^{p^n}) [/mm] = [mm] K(\alpha^{p^n} [/mm] + c) = [mm] K((\alpha [/mm] + [mm] \beta)^{p^n}) \subseteq K(\alpha [/mm] + [mm] \beta)$.
[/mm]
Und [mm] $K(\alpha^{p^n}) [/mm] = ...$?
LG Felix
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:09 Mi 09.03.2011 | | Autor: | Lippel |
Hallo!
> > > Du weisst doch (mittlerweile :) ) [mm]\alpha[/mm] separabel
> > > [mm]\Leftrightarrow K(\alpha) = K(\alpha^p)[/mm].
> > >
> > > Jetzt ist [mm](\alpha + \beta)^{p^n} = \alpha^{p^n} + \beta^{p^n} = \alpha^{p^n} + c[/mm]
> > > mit [mm]c \in K[/mm]. Kommst du damit weiter?
> Daraus folgt doch [mm]K(\alpha^{p^n}) = K(\alpha^{p^n} + c) = K((\alpha + \beta)^{p^n}) \subseteq K(\alpha + \beta)[/mm].
>
> Und [mm]K(\alpha^{p^n}) = ...[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
?
Ahh, jetzt sehe ich es auch. Da $K(\alpha^p)$ Zwischenkörper der separablen Erweiterung $K(\alpha)/K$ ist, sind K(\alpha)/K(\alpha^p), K(\alpha^p)/K$ separabel. Induktiv sieht man, dass alle Erweiterungen $K(\alpha^{p^m})/K(\alpha^{p^{m+1}})$ separabel sind, es folgt also:
$K(\alpha^{p^n}}) = K((\alpha^{p^{n-1}}})^p) = K(\alpha^{p^{n-1}}}) = \ldots = K(\alpha)$
Damit folgt aus obigem $K(\alpha) \subset K(\alpha+\beta)$ und damit auch $\beta \in K(\alpha+\beta)$ und somit K(\alpha,\beta) \subset K(\alpha+\beta)$. Damit haben wie die Gleichheit $K(\alpha,\beta)=K(\alpha+\beta)$.
Vielen Dank für deine Geduld!
LG Lippel
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:01 Mi 09.03.2011 | | Autor: | felixf |
Moin!
> Ahh, jetzt sehe ich es auch. Da [mm]$K(\alpha^p)$[/mm]
> Zwischenkörper der separablen Erweiterung [mm]$K(\alpha)/K$[/mm]
> ist, sind [mm]K(\alpha)/K(\alpha^p), K(\alpha^p)/K$[/mm] separabel.
> Induktiv sieht man, dass alle Erweiterungen
> [mm]$K(\alpha^{p^m})/K(\alpha^{p^{m+1}})$[/mm] separabel sind, es
> folgt also:
> [mm]K(\alpha^{p^n}}) = K((\alpha^{p^{n-1}}})^p) = K(\alpha^{p^{n-1}}}) = \ldots = K(\alpha)[/mm]
>
> Damit folgt aus obigem [mm]$K(\alpha) \subset K(\alpha+\beta)$[/mm]
> und damit auch [mm]$\beta \in K(\alpha+\beta)$[/mm] und somit
> [mm]K(\alpha,\beta) \subset K(\alpha+\beta)$.[/mm] Damit haben wie
> die Gleichheit [mm]$K(\alpha,\beta)=K(\alpha+\beta)$.[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Vielen Dank für deine Geduld!
Bitte!
LG Felix
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