Sigma-Endlich < Maßtheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | Sei [mm] (\Omega,A,\mu) [/mm] ein Massraum und [mm] (f_n)_{n \in \IN\} [/mm] eine Folge Borel-messbarer, [mm] \mu- [/mm] integrierbarer Funktionen [mm] f_n:\Omega [/mm] -> [mm] \IR, [/mm] die gleichmäßig gegen eine Grenzfunktion f: [mm] \Omega [/mm] -> [mm] \IR [/mm] konvergiert. Dann gilt
a) Ist [mm] \mu [/mm] endlich, so ist f [mm] \mu-integrierbar.
[/mm]
b) Ist [mm] \mu \sigma-endlich, [/mm] so ist f im Allgemeinen nicht [mm] \mu-integrierbar
[/mm]
c) Ist [mm] \mu \sigma-endlich [/mm] und f [mm] \mu-integrierbar, [/mm] muss [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{}^{}{f_n d\mu}=\integral_{}^{}{f d\mu} [/mm] im Allgemeinen nicht gelten. |
Hallo zur späten Stunde.
Hier eine Aufgabe, die mir ein wenig Probleme bereitet.
Meine Ansätze:
a) f als punktweiser Grenzwert messbarer Funktionen wieder messbar. Da f gleichmäßigen Grenzwert einer beschränkten Funktion hat, ist f selbst auch beschränkt und unter der Vor, dass [mm] \mu \sigma-endlich [/mm] ist, folgt die Aussage.
Ist das richtig so und denkt ihr, das reicht so?
b) Hier muss ich ein Gegenbeispiel bringen und da würde ich die Funktionenfolge [mm] f_n:=\bruch{1}{n}1_{0,n} [/mm] mit n größer gleich 0, wobei 1 die Indikatorfunktion darstellt (Habe das Symbol für die Indikatorfunktion im Editor nicht gefunden).
Dann gilt:
[mm] -f_n [/mm] ist messbar, da [mm] \bruch{1}{n} [/mm] konstante Funktion ist und (0,n) [mm] \in B(\IR) [/mm] auch messbar und das Produkt zweier messbaren Funktionen wieder messbar ist
[mm] -f_n [/mm] ist beschränkt, da [mm] |f(x)|\le \bruch{1}{n} [/mm] für alle x aus [mm] \IR
[/mm]
[mm] -f_n [/mm] konvergiert gleichmäßig gegen 0, da für [mm] |f(x)|\le \bruch{1}{n} [/mm] gegen 0 geht für n gegen [mm] \infty, [/mm] aber [mm] \integral_{\IR}^{}{f_n d\mu} [/mm] = 1 und somit
[mm] \integral_{\IR}^{}{f_n d\mu} [/mm] konvergiert nicht gleichmäßig gegen 0 und es gilt [mm] \integral_{\IR}^{}{f_n d\mu} =0*\mu(\IR)=0*\infty= [/mm] 0
Für c) benötige ich ja wieder ein Beispiel, aber habe keine Idee. Wir haben eine Hilfssatz in der Vorlesung gehabt, dessen Resultat die monotone Konvergenz war, was ja eigentlich die Gleichheit dieser zwei Ausdrücke zeigt. Also Voraussetzung wurde [mm] f_1 \le f_2 \le [/mm] ... vorausgesetzt. Muss man damit vielleicht arbeiten. Also vielleicht ne alternierende Folge konstruieren?
Lieben Gruß
TheBozz-mismo
|
|
|
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
