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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:14 Mi 31.10.2012 | | Autor: | sissile |
| Aufgabe | Sei $ [mm] \phi: [/mm] $ V->W eine lineare Abbildung zwischen endlich dimensionalen Euklidischen oder unitären Vektorräumen und $ [mm] \phi^{+} [/mm] $ : W->V die Pseudoinverse.
Wieso gilt:
[mm] (\lambda \phi)^{+} [/mm] = [mm] \lambda^{-1} \phi^{+} [/mm] für alle 0 [mm] \not= \lambda \in \IK [/mm] |
Diese behauptung steht im Skript, wurde vom prof aber handgehabt als: Ist trivial.
Nun meine Frage, wieso gilt diese "Trivialität"
Ich sehe sie leider nicht..
LG
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:25 Do 01.11.2012 | | Autor: | hippias |
Wie lauten denn die Definitionsbedingungen fuer die Pseudoinverse?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:24 Do 01.11.2012 | | Autor: | sissile |
[mm] \phi^{+}: [/mm] W -> V
[mm] \phi^{+}|_{img(\phi)} [/mm] := [mm] \phi^{-1}|_{(ker(\phi))^\perp} [/mm] und [mm] \phi^{+}|_{(img(\phi))^\perp} [/mm] :=0
wobei [mm] \phi|_{(ker(\phi))^\perp} [/mm] : [mm] (ker(\phi))^\perp [/mm] -> [mm] img(\phi) [/mm] isomorph
Hallo,
das war unsere Definition.
Trotzdem ist mir meine Frage nicht klar.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 14:29 Do 01.11.2012 | | Autor: | fred97 |
Das liegt hieran
$ [mm] \phi^{+}|_{img(\phi)} [/mm] $ = $ [mm] \phi^{-1}|_{(ker(\phi))^\perp} [/mm] $
und hieran
[mm] (\lambda \phi)^{-1}=\bruch{1}{\lambda} \phi
[/mm]
FRED
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:20 Fr 02.11.2012 | | Autor: | hippias |
Unter Beruecksichtigung von fred97's Bemerkung kannst Du jetzt so vorgehen: Die Pseudoinverse ist durch die Definitionsgleichungen eindeutig bestimmt, so dass Du jetzt nur noch [mm] $\lambda^{-1}A^{+}$ [/mm] in die Gleichungen "einsetzten" und die Gleichheiten nachweisen musst. Aufgrund der Eindeutigkeit ist [mm] $\lambda^{-1}A^{+}$ [/mm] dann Pseudoinverse von [mm] $\lambda [/mm] A$.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:05 Fr 02.11.2012 | | Autor: | sissile |
> $ [mm] \lambda^{-1}A^{+} [/mm] $ in die Gleichungen "einsetzten"
Hallo
[mm] $\lambda^{-1}A^{+} |_{img(\phi)} [/mm] $ := [mm] $\lambda^{-1}A^{-1}|_{(ker(\phi))^\perp} [/mm] $ und $ [mm] \lambda^{-1}A^{+} |_{(img(\phi))^\perp} [/mm] $ :=0
Was soll mir das einsetzten bringen? Verstehe ich nicht ganz.
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(Antwort) fertig | | Datum: | 09:32 Sa 03.11.2012 | | Autor: | hippias |
Ich meinte damit, das Du nachweisen musst, dass [mm] $\lambda^{-1}A^{+}$ [/mm] die Definitionsgleichungen der Pseudoinversen von [mm] $\lambda [/mm] A$ erfuellt - das ist vermutlich ein Zweizeiler. Aufgrund der Eindeutigkeit ergibt sich dann [mm] $\lambda^{-1}A^{+}= (\lambda A)^{+}$.
[/mm]
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