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Skalarprodukt Matrix: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:45 So 12.01.2014
Autor: bettyr

Hi,

in meinem Skript steht folgendes:

[mm] $\forall [/mm] A [mm] \in O_n(\IR) [/mm] gilt: [mm] ||Ax||=\sqrt{\langle Ax, Ax \rangle}=\sqrt{\langle A^{T}Ax, x \rangle}=\sqrt{\langle x, x \rangle}=||x||$ [/mm]

Laut Definition darf ich ja folgendes machen:

[mm] $\langle [/mm] x, [mm] \lambda [/mm] y [mm] \rangle=\langle \lambda [/mm] x,  y [mm] \rangle \forall \lambda \in [/mm] K$

Warum muss ich aber nun die Matrix transponieren, wenn ich sie "rüberziehe"?

Hoffe mir kann das jemand kurz erläutern.

        
Bezug
Skalarprodukt Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 So 12.01.2014
Autor: wieschoo

Machen wir es mal anschaulich mit dem Standardskalarprodukt im euklidischen Raum:

Mit [mm] $A\in [/mm] O(n)$ auch $A^TA=E$ und $A$ ist eine Isometrie im euklidischen Raum, denn es gilt [mm] $(Ax)^T(Ax)=x^TA^TAx=x^Tx$. [/mm]

Und jetzt schreib dir das mal mit der Skalarprodukt-Schreibweise [mm] $\lange\cdot,\cdot\rangle$ [/mm]

Bezug
        
Bezug
Skalarprodukt Matrix: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:59 So 12.01.2014
Autor: fred97

Ist B eine nxn-Matrix und sind [mm] e_1,....,e_n [/mm] die Einheitsvektoren im [mm] \IR^n, [/mm] so rechne nach

[mm] = [/mm]


Daraus folgt dann: $<Bx,y>=<x,B^Ty>$  für x,y [mm] \in \IR^n. [/mm]


FRED

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