Sobolev Räume < partielle < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) überfällig  | | Datum: | 17:51 Di 19.07.2016 | | Autor: | Hias |
Hallo,
Sei [mm] $u^\varepsilon(x):=\eta_\varepsilon(x)\*\tilde [/mm] u(x)$, wobei [mm] $f\*g$ [/mm] die Faltung von f und g bezeichnet, [mm] $\eta_\varepsilon(x)$ [/mm] einen Glättungskern (Bump-Funktion mit Breite [mm] $2\varepsilon$) [/mm] und
[mm] $\tilde [/mm] u [mm] (x)=\begin{cases} u(x), & \mbox{für } x \in{ \Omega} \\ 0, & \mbox{für } x \in{ \IR^n\backslash \Omega} \end{cases}$, [/mm] sowie [mm] $u(x)\in L^p(\Omega)$. [/mm]
In der unserer Vorlesung wurde gezeigt, dass [mm] $u^\varepsilon [/mm] (x) [mm] \to [/mm] u(x)$ für [mm] $\varepsilon \to [/mm] 0$ in [mm] $L^p(\Omega)$ [/mm] konvergiert.
Es wurde nur kurz angemerkt, dass dieses Vorgehen nicht funktioniert für die Sobolevräume,
d.h. für ein $u(x) [mm] \in W^{k,p}(\Omega)$ [/mm] konvergiert die obige Konstruktion nicht in [mm] $W^{k,p}(\Omega)$, [/mm] i.Z: [mm] $u^\varepsilon(x) \not \to [/mm] u(x)$ für [mm] &\varepsilon \to [/mm] 0 in [mm] $W^{k,p}(\Omega)$. [/mm]
Ich bin nun auf der Suche nach einem Beispiel, das das Scheitern der Konvergenz zeigt. Ich habe mir überlegt, dass wenn es Probleme gibt, dann am Rand, denn wenn die Funktion durch die Fortsetzung mittels der 0 einen Sprung hat, so ist die schwache Ableitung eine Dirac-Delta-Distribution und diese liegt nicht in [mm] $L^1_{loc}(\Omega), [/mm] was aber in der Definition der schwachen Ableitungen gefordert wird.
Die gefaltete Funktion ist jedoch eine [mm] $C^\infty_0$ [/mm] Funktion, hat also den Sprung geglättet und besitzt dementsprechend schwache Ableitungen. Ich komme momentan nicht auf den Richtigen Gedanken und es wäre schön, wenn jemand ein explizites Beispiel hätte.
Danke im Voraus, Hias.
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:20 Do 21.07.2016 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
|
|
|
|
