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Guten Tag
Sei $U$ eine offene Menge. Ich betrachte den Sobolev Raum [mm] $H^1_0:=H^1_0(U)$, [/mm] welcher ein Hilbertraum ist. Sei [mm] $\{u_k\}$ [/mm] eine orthogonal Basis von [mm] $H^1_0(U)$. [/mm] Nun verstehe ich folgenden Satz nicht so ganz. Bei uns steht:
Wähle [mm] $v\in H^1_0$ [/mm] mit [mm] $\|v\|_{H^1_0}\le [/mm] 1$. Schreibe $v=w+r$ wobei [mm] $w\in \operatorname{span}\{u_k;k=1,\dots,m\}$ [/mm] und $r$ so dass [mm] $(r,u_k)=0$ [/mm] für alle [mm] $k=1,\dots,m$. [/mm] Wobei letzteres für das Skalarprodukt steht.
Nun steht anschliessend der Satz: Weil die [mm] $(u_k)$ [/mm] orthogonal in [mm] $H^1_0$ [/mm] sind, [mm] $\|w\|_{H^1_0}\le\|v\|_{H^1_0}\le [/mm] 1$.
Nun meine Frage, auf was bezieht sich der Satz "Weil die [mm] $(u_k)$ [/mm] orthogonal in [mm] $H^1_0$ [/mm] sind"? Und wieso brauch ich das hier?
Das ich $v$ so zerlegen kann, ist einfach der Fakt, dass ich [mm] $H^1_0$ [/mm] als direktes Produkt von [mm] $\operatorname{span}\{u_k;k=1,\dots,m\}$ [/mm] und seinem orthogonalen Komplement schreiben kann?
Herzlichen Dank für eure Hilfe
Liebe Grüsse
marianne88
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:10 Fr 17.08.2012 | | Autor: | rainerS |
Hallo Marianne!
> Guten Tag
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> Sei [mm]U[/mm] eine offene Menge. Ich betrachte den Sobolev Raum
> [mm]H^1_0:=H^1_0(U)[/mm], welcher ein Hilbertraum ist. Sei [mm]\{u_k\}[/mm]
> eine orthogonal Basis von [mm]H^1_0(U)[/mm]. Nun verstehe ich
> folgenden Satz nicht so ganz. Bei uns steht:
>
> Wähle [mm]v\in H^1_0[/mm] mit [mm]\|v\|_{H^1_0}\le 1[/mm]. Schreibe [mm]v=w+r[/mm]
> wobei [mm]w\in \operatorname{span}\{u_k;k=1,\dots,m\}[/mm] und [mm]r[/mm] so
> dass [mm](r,u_k)=0[/mm] für alle [mm]k=1,\dots,m[/mm]. Wobei letzteres für
> das Skalarprodukt steht.
> Nun steht anschliessend der Satz: Weil die [mm](u_k)[/mm] orthogonal
> in [mm]H^1_0[/mm] sind, [mm]\|w\|_{H^1_0}\le\|v\|_{H^1_0}\le 1[/mm].
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> Nun meine Frage, auf was bezieht sich der Satz "Weil die
> [mm](u_k)[/mm] orthogonal in [mm]H^1_0[/mm] sind"? Und wieso brauch ich das
> hier?
Hmm, das verstehe ich auch nicht so recht. Ich hätte geschrieben, dass 1. aus [mm]w\in \operatorname{span}\{u_k;k=1,\dots,m\}[/mm] und [mm](r,u_k)=0[/mm] folgt, dass $(r,w)=0$ und 2. damit gilt
[mm] \|v\|_{H^1_0}^2 = (v,v) = (w,w) + (r,r) = \|w\|_{H^1_0}^2+\|r\|_{H^1_0}^2 \ge \|w\|_{H^1_0}^2 [/mm] .
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> Das ich [mm]v[/mm] so zerlegen kann, ist einfach der Fakt, dass ich
> [mm]H^1_0[/mm] als direktes Produkt von
> [mm]\operatorname{span}\{u_k;k=1,\dots,m\}[/mm] und seinem
> orthogonalen Komplement schreiben kann?
Als innere orthogonale Summe. meinst du sicherlich.
Viele Grüße
Rainer
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