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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:03 So 26.03.2006 | | Autor: | frau-u |
| Aufgabe | Gegeben sind die Vektoren v1 und v2.
v1 := [mm] \vektor{2 \\ -6 \\ -2 \\ 1}
[/mm]
v2 := [mm] \vektor{3 \\ -1/2 \\ -1 \\ 1/2}
[/mm]
Bestimmen sie eine Matrix A [mm] \in \IR^{2x4}, [/mm] so dass gilt:
{x [mm] \in \IR_{4} [/mm] : A * x = 0} = span [mm] \{v_1, v_2\} [/mm] |
Hi,
Ich hänge gerade an dieser Aufgabe bzw. an ihrem Lösungsweg (hab hier die Musterlösung von meinem Prof) fest.
Das hat vermutlich damit zu tun, dass ich immernoch Probleme mit der praktischen Anwendung der Definitionen von Span und Kern habe...
Aber am besten fange ich einfach mal an:
Gesucht wird eine Matrix:
A = [mm] \pmat{ \alpha_{11} & \alpha_{12} & \alpha_{13} & \alpha_{14} \\ \alpha_{21} & \alpha_{22} & \alpha_{23} & \alpha_{24}} \in \IR^{2x4}
[/mm]
Für die dazugehörige Abbildung ( [mm] \varphi_A:\IR_4 \in [/mm] x [mm] \rightarrow [/mm] A*x [mm] \in \IR_2) [/mm] gilt nun:
ker [mm] \varphi_A [/mm] = [mm] {x\in \IR_4 : A*x=0} [/mm] = [mm]
[/mm]
Soweit habe ich das verstanden.
Nun geht es aber damit weiter, dass ker [mm] \varphi_A [/mm] (s.o.) dann erfüllt ist, wenn [mm] \varphi_A(v_3) [/mm] und [mm] \varphi_A(v_4) [/mm] eine Basis von Im [mm] \varphi_A=\IR_2 [/mm] bilden und [mm] \varphi(v_1)=\varphi(v_2)=0 [/mm] ist.
Dazu wird dann der folgende Ansatz gewählt:
[mm] \varphi_a(v_3)=A*v_3= \vektor{\alpha_{12} \\ \alpha_{22}} [/mm] = [mm] \vektor{1 \\ 0},
[/mm]
[mm] \varphi_a(v_4)=A*v_4= \vektor{\alpha_{13} \\ \alpha_{23}} [/mm] = [mm] \vektor{0 \\ 1}
[/mm]
Wie kommt man darauf? Warum werden gerade diese Spalten im Vektor gewählt?
Achja, wie es mit der Aufgabe weitergeht ist mir klar und auch sehr einfach, ich bin nur bei diesem Zwischenschritt/-schlußfolgerung hängenblieben.
Danke für eure Hilfe, ich habe die Frag enur hier gestellt.
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:18 So 26.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi,
du hast doch eine Abbildung von [mm] $\IR^4$ [/mm] nach [mm] $\IR^2$ [/mm] und die gegebenen Vektoren sollen den Kern aufspannen - alle anderen Vektoren, die nicht in deren Erzeugnis liegen, sollen als Bild nicht 0 haben.
Also als erstes nehme man sich eine Basis aus [mm] v_1 [/mm] , [mm] v_2 [/mm] und zwei weiteren linear unabhängigen Vektoren (Basisergänzungssatz !)
diese heißen jetzt mal [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4
[/mm]
wenn wir jetzt $ [mm] \varphi(v_1)=\varphi(v_2)=0 [/mm] $ setzen, dann liegt das Erzeugnis von [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] schonmal im Kern, aber wir wollen ja auch, dass sonst kein Vektor mehr darin liegt, also müssen wir den restlichen Unterraum (der von [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] erzeugt wird) injektiv auf [mm] $\IR^2$ [/mm] abbilden, damit hier der Kern trivial ist.
Also müssen wir die beiden Vektoren [mm] v_3 [/mm] und [mm] v_4 [/mm] auf zwei linear unabhängig Vektoren im [mm] $\IR^2$ [/mm] abbilden.
Nun ist [mm] $\IR^2$ [/mm] zweidimensional, also müssen wir sogar auf eine Basis abbilden.
Und jetzt nimmt man sich eben die erst-beste Basis : Die Standardbasis
und bilden [mm] v_3 [/mm] auf den ersten und [mm] v_4 [/mm] auf den zweiten Standardbasisvektor ab - so hat das Bild Dimension 2 (und der Kern dieses Unterraums deshalb Dimension 0) und zusammen mit dem ersten Teil mit [mm] v_1 [/mm] und [mm] v_2 [/mm] sind wir dann fertig.
viele Grüße
DaMenge
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:55 So 26.03.2006 | | Autor: | frau-u |
Soweit kann ich dem folgen - ganze Sätze sind für Anfänger immer besser als kryptische Formeln. 
Aber was mir weiterhin unklar ist:
Warum werden hier gerade [mm] \alpha_{12}, \alpha_{22}, \alpha_{13}, \alpha_{23} [/mm] mit der Standardbasis ersetzt?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:06 So 26.03.2006 | | Autor: | DaMenge |
Hi nochmal,
ich denke es handelt sich hier um einen Tippo.
Es sollte ja
$ [mm] \varphi_a(v_3)=A\cdot{}v_3= \vektor{\alpha_{13} \\ \alpha_{23}} [/mm] $
$ [mm] \varphi_a(v_4)=A\cdot{}v_4= \vektor{\alpha_{14} \\ \alpha_{24}} [/mm] $
sein, wenn die Basis als [mm] $\{ v_1 , v_2 , v_3 , v_4 \}$ [/mm] geordnet ist.
(und die Matrix A bzgl dieser Basis dargestellt ist)
dann sind natürlich auch die beiden letzten Spalten die Einheitsvektoren nicht die mittleren.
Ich sehe jedenfalls keinen Grund darin die Basis so zu ordnen:
[mm] $\{ v_1 , v_3 , v_4 , v_2 \}$
[/mm]
Also solange da nichts zu steht würde ich mir mal darüber nicht zuu viele Gedanken machen.
viele Grüße
DaMenge
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 So 26.03.2006 | | Autor: | frau-u |
Um das ganze mal kurz aufzuklären:
In einem Aufgabenteil vor dieser Aufgabe wurde definiert, dass die Basis v1, e2, e3, v2 lautet.
Ich hatte diese Teilaufgabe unabhängig davon gesehen, daher kam es zu der Verwirrung.
Danke jedenfalls für deine Erläuterung, jetzt ist der Groschen gefallen. ;)
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