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| Aufgabe | [mm] a.)f(x)=3x^2-1/x^3
[/mm]
[mm] b.)f(x)=(4x^3-1)/(2x^2) [/mm] |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Kann mir jemand bei den beiden aufgaben helfen?...
bekomme bei
a.) [mm] 3*1/3x^3+1/2x^-2
[/mm]
und bei b leider irgendwie nur banane..*nichsogut..*
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 20:41 So 22.10.2006 | | Autor: | PStefan |
Hi,
> [mm]a.)f(x)=3x^2-1/x^3[/mm]
> [mm]b.)f(x)=(4x^3-1)/(2x^2)[/mm]
> Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen
> Internetseiten gestellt.
>
>
> Kann mir jemand bei den beiden aufgaben helfen?...
> bekomme bei
> a.) [mm]3*1/3x^3+1/2x^-2[/mm]
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
bessere Form
[mm] F(x)=x^{3}+\bruch{1}{2 x^{2}}
[/mm]
> und bei b leider irgendwie nur banane..*nichsogut..*
-->
[mm] f(x)=\bruch{4*x^{3}-1}{2*x^{2}}
[/mm]
[mm] \integral{\bruch{4*x^{3}}{2*x^{2}} dx}+\integral{\bruch{-1}{2*x^{2}} dx}
[/mm]
nun kannst du einmal kürzen und vereinfachen:
[mm] 2*\integral{x dx}-\bruch{1}{2}*\integral{x^{-2} dx}=
[/mm]
[mm] 2*\bruch{x^{2}}{2}-\bruch{1}{2}*((-1)*x^{-1})=
[/mm]
[mm] x^{2}+\bruch{1}{2x}
[/mm]
Liebe Grüße
Stefan
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Danke für deine Hilfe...
Hab aber nochn problem, weil ich bei [mm] f(x)=2(x-4)^2
[/mm]
die stamfunktion berechnen soll..hab ich also gemacht und
[mm] 2/3x^3-8x^2+3x [/mm] heraus...aber mein buch sagt da soll [mm] 1/2(x-4)^4 [/mm] herauskommen.....
meine rechnung war:
[mm] =2(x^2-8x+16)---
[/mm]
[mm] ..2/3x^3-8x^2+3x
[/mm]
..is da irgendwo ein fehler ?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 21:13 So 22.10.2006 | | Autor: | ardik |
Hallo Rebeccab.,
> ..is da irgendwo ein fehler ?
Ja, zwei. :-(
Aber einer davon schon in der Aufgabe selbst.
> mein buch sagt da soll [mm]1/2(x-4)^4[/mm] herauskommen.
Leite das doch mal ab.
Dann erhältst Du [mm] $f(x)=2(x-4)^3$ [/mm]
Es stimmt also der Exponent in der Aufgabe nicht.
> [mm]=2(x^2-8x+16)[/mm]
>
> [mm]2/3x^3-8x^2+3x[/mm]
Wo kommen denn $3x$ her? ![[kopfkratz]](/images/smileys/kopfkratz.gif "[kopfkratz]")
Oder ist dir beim Tippen die "2" entglitten?
Mit einer 3 im Exponenten wird das Ganze natürlich etwas länger.
Vielleicht wurde in der Aufgabe auch erwartet, dass man "einfach sieht", dass $f(x)$ das Ergebnis einer einfachen Kettenregel ist?
Man könnte entsprechend auch $z=x-4$ substituieren, falls Ihr das schon kennt.
Schöne Grüße,
ardik
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hallo..
also irgendwie bin ich jetzt verwirrt..
also ich hab nochmal nachgeguckt und dort steht:
[mm] f(x)=2(x-4)^2 [/mm] und herauskommen soll [mm] F(x)=1/2(x-4)^4
[/mm]
....
aber wie kommt man darauf? das is irgendwir äußert merkwürdig..
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 23:01 So 22.10.2006 | | Autor: | ardik |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Rebecca,
dann ist es ganz eindeutig ein Druckfehler im Buch.
Und zwar der Exponent in der Aufgabe. Wäre dort die Lösung falsch, dann müssten da gleich zwei Druckfehler sein, da sie nämlich dann $F(x)=\bruch{2}{3}(x-4)^3$.
Du weißt ja hoffentlich, das das Stammfunktion Bilden sozusagen das Gegenteil vom Ableiten ist.
Also kann man eine Stammfunktion immer auf ihre Richtigkeit prüfen, indem man sie ableitet (was ja meist erheblich einfacher ist).
Wenn wir aber von der Aufgabe aus dem Buch ausgehen, wie kann man auf obige Lösung kommen?
Mir fallen gleich drei Varianten ein 
1. Das berüchtigte "scharfe Hinsehen"
Da da was Verschachteltes ist, ist anzunehmen, dass die (noch unbekannte) Stammfunktion per Kettenregel abzuleiten ist. Die Ableitung des Klammerinhaltes ist aber 1, also kann man die innere Ableitung "vergessen" und ich brauche nur noch nachzudenken, wie ich den ganzen Ausdruck "aufleiten" kann, so als stünde da statt der Klammer einfach nur ein x.
2. Substitution
Kennt Ihr die überhaupt schon? Wäre hier eigentlich übertrieben, aber so kommt man direkt zu der "geklammerten" Stammfunktion (statt ausmultipliziert, wie - zunächst - bei 3.).
$F(x)=\integral{2(x-4)^2dx}$$z=x-4$
$\bruch{dz}{dx}=1$
$dx=dz$ $F(x)= \integral{2z^2dz}= \bruch{2}{3}z^3+C= \bruch{2}{3}(x-4)^3+C$
3. Ausmultiplizieren etc.
Da ist dann ein Trick dabei, um wieder auf die geklammerte Form zu kommen. Eine Art quadratische Ergänzung (aber eben nicht quadratisch). Dazu muss man sich bewusst sein, dass es zu einer Funktion immer beliebig viele Stammfunktionen gibt, nämlich mit beliebigen Konstanten am Ende (das C im Beispiel 2), die ja beim Ableiten wegfallen.
$F(x)=\integral{2(x-4)^2dx}= 2\integral{(x^2-8x+16)dx}$
Hier könnte man sonst aufhören oder besser noch ausmulitplizieren, aber:
$= 2(\bruch{1}{3}x^3-4x^2+16x)+C= \bruch{2}{3}(x^3-12x^2+48x)+C= \bruch{2}{3}(x^3-3*4x^2+3*16x)+C$
$(a-b)^3=a^3-3a^2b+3ab^2-b^3$
$F(x)=\bruch{2}{3}(x^3-3*4x^2+3*16x-\green{4^3}+\red{4^3})+C=$
$ \bruch{2}{3}((x-4)^3}+\red{4^3})+C= $
$\bruch{2}{3}(x-4)^3}+\bruch{2}{3}*\red{4^3}+C=$
$ \bruch{2}{3}(x-4)^3}+C'$
Schöne Grüße,
ardik
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