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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:40 Mi 16.01.2008 | | Autor: | inuma |
| Aufgabe | | Wie lautet die Stammfunktion der gebrochen-rationalen Funktion f(x) = [mm] \bruch{2x^{2}-4}{x^{2}-1} [/mm] |
Hallo,
folgendes Problem:
Ich habe die oben angegebende Funktion und muss nun die Stammfunktion ermitteln.
Ich habe als erstes die Polynomdivision druchgeführt, sodass ich auch
2- [mm] \bruch{2}{x^{2}-1} [/mm] kamm
Die Stammfunktion von 2 ist ja leicht. Sie ist 2x, aber wie geht es dann weiter???
Wichtig ist mir der Weg, da ich da gerade keine Idee haben.
MFG
inuma
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 17:55 Mi 16.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Du kannst Dir in diesem Fall mit Partialbruchzerlegung helfen, d.h. Du stellt den Bruch [mm] \frac{1}{x^2-1} [/mm] als Summe von einfacheren Brüchen dar.
Der Nenner zerfällt in die beiden Linearfaktoren x+1 und x-1 , diese treten als Nenner in den beiden noch zu findenden Brüchen auf, die Zähler dieser Brüche sind Konstante. D.h. Du mußt dei Gleichung:
[mm] \frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1} [/mm] lösen.
Man multipliziert die ganze Gleichung mit x+1 und setzt dann x=-1 ein, daraus folgt [mm] a=\frac{-1}{2}. [/mm]
Multipliziert man mit x-1 und setzt x=1 ein folgt [mm] b=\frac{1}{2}.
[/mm]
Insgesamt hat man somit: [mm] \frac{1}{x^2-1}=\frac{-1}{2(x+1)}+\frac{b}{2(x-1)}. [/mm]
Diese beiden Summanden kann man leicht integrieren.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:07 Mi 16.01.2008 | | Autor: | inuma |
Hallo,
danke erst mal für deine Antwort, jedoch vertsehe ich da etwas nicht.
Die Lösung für mein Problem ist laut mupad:
2x-ln (x-1)+ln(x+1)
Wenn ich jetzt aber
[mm] \bruch{1}{2(x-1)} [/mm] ableite erhalte ich
[mm] \bruch{1}{2} [/mm] * ln(x-1)
Kannst du mir das erklären?
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:43 Mi 16.01.2008 | | Autor: | inuma |
Danke bis jetzt erstmal, noch eine sache die ich nicht ganz verstehe:
Man multipliziert die ganze Gleichung mit x+1 und setzt dann x=-1 ein, daraus folgt $ [mm] a=\frac{-1}{2}. [/mm] $
Multipliziert man mit x-1 und setzt x=1 ein folgt $ [mm] b=\frac{1}{2}. [/mm] $
Das mit dem multiplizieren verstehe ich noch: (hier jetzt nur zum ersten)
[mm] \bruch{a}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x-1} [/mm] | *(x+1)
a+ [mm] \bruch{b(x+1)}{x-1}
[/mm]
wenn ich jetzt -1 einsetze, wäre oben 0 und unten -2
Wie kommt man dann auf das von dir?
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(Antwort) fertig | | Datum: | 18:47 Mi 16.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Du mußt die ganze Gleichung multiplizieren, nicht nur die rechte Seite!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:56 Mi 16.01.2008 | | Autor: | inuma |
in etwas so?
Tut mir sehr leid habe gerade meine Denkblockade überwudnen und es verstenden
$ [mm] \frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1} [/mm] $ lösen.
Man multipliziert die ganze Gleichung mit x+1 und setzt dann x=-1 ein, daraus folgt $ [mm] a=\frac{-1}{2}. [/mm] $
Multipliziert man mit x-1 und setzt x=1 ein folgt $ [mm] b=\frac{1}{2}. [/mm] $
[mm] \bruch{1}{x^2-1} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x-1} [/mm] |*(x+1)
[mm] \bruch{1}{x-1} [/mm] = a + [mm] \bruch{b(x+1)}{x-1}
[/mm]
[mm] \bruch{1-b(x+1)}{x-1}= [/mm] a
[mm] \bruch{1}{-2} [/mm] =a
Gut das wars, denke an alle die mitgeholfen haben.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:18 Mi 16.01.2008 | | Autor: | inuma |
ICh habe etwas gegoogelt und noch ein Variante gefunden, die ich einfacher fand, jedoch würde ich sehr gerne noch wissen wie die andere Variante von zahllos funktioniert.
[mm] \bruch{4}{x^2-1} [/mm] = [mm] \bruch{a}{x+1} [/mm] + [mm] \bruch{b}{x-1} |*(x^2-1)
[/mm]
1= a(x-1) + b(x+1) |Nun die Nennernullstellen x=-1
1 = a(-2)
-1/2 = a
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Hallo inuma,
> in etwas so?
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> Tut mir sehr leid habe gerade meine Denkblockade überwudnen
> und es verstenden
>
>
> [mm]\frac{1}{x^2-1}=\frac{a}{x+1}+\frac{b}{x-1}[/mm] lösen.
zum Verfahren der  Partialbruchzerlegung liest du auch in der ![[]](/images/popup.gif) Wikipedia...
> Man multipliziert die ganze Gleichung mit x+1 und setzt
> dann x=-1 ein, daraus folgt [mm]a=\frac{-1}{2}.[/mm]
> Multipliziert man mit x-1 und setzt x=1 ein folgt
> [mm]b=\frac{1}{2}.[/mm]
>
> [mm]\bruch{1}{x^2-1}[/mm] = [mm]\bruch{a}{x+1}[/mm] + [mm]\bruch{b}{x-1}[/mm]
> |*(x+1)
>
> [mm]\bruch{1}{x-1}[/mm] = a + [mm]\bruch{b(x+1)}{x-1}[/mm]
>
> [mm]\bruch{1-b(x+1)}{x-1}=[/mm] a
>
> [mm]\bruch{1}{-2}[/mm] =a
>
> Gut das wars, denke an alle die mitgeholfen haben.
Gruß informix
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