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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:50 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo alle zusammen!
Ich habe bei der Durcharbeitung des Paragraphen über die Wegintegrale zwei Unklarheiten entdeckt, die ich mir selber nicht 100%ig erklären kann.
1.
Ist B der Kreis um a mit dem Radius r > 0 und [mm] n \in \mathbb Z [/mm] , so ist
[mm] \integral_{ \partial B } ( z - a )^n dz = \left\{\begin{matrix}
0, & \mbox{wenn }n \ne -1 \\
2 \pi i , & \mbox{wenn } n = -1
\end{matrix}\right.
[/mm]
Waum ist das Integral Null für [mm] n \ne -1 [/mm] ? Liegt das daran , dass wir hier über einen geschlossenen Weg integrieren und des Anfangspunkt gleich dem Endpunkt ist und somit das Integral insgesamt Null wird ?
Eine der Folgerungen aus dieser Tatsache ist, dass nicht jede stetige Funktion eine Stammfunktion besitzt.
Warum besitzt denn die Funktion [mm] f(z) = \bruch{1}{z} [/mm] in [mm]
\mathbb C \ \{0 \} [/mm] keine Stammfunktion? Im Reelen ist es doch der Logarithmus...
2.
I
m Folgenden sind die 'rot' geschiebenen Zeilen mir unklar.
Es geht um den folgenden Satz:
Sei U eine Gebiet in [mm] \mathbb C [/mm] und [mm] f: U \to \mathbb C [/mm] holomorph mit [mm] f ' = 0 [/mm]. Dann ist f konstant.
Beweis:
Sei [mm] f' = 0 [/mm] auf dem Gebiet U . Wähle [mm] z_0 \in U [/mm].
Sei [mm] A := [mm] \{ z \in U | f(z) = f(z_0) \}.
[/mm]
Zu zeigen: A = U
Wegen [mm] z_0 \in A [/mm] ist [mm] A \ne \emptyset [/mm] .
Weil f stetig ist, ist A abgeschlossen in U .
A ist auch offen in U .
Sei [mm] z \in A [/mm]. Es gibt ein r > 0 mit [mm] B = B_r (z) \subseteq U [/mm]. Wollen zeigen: [mm] B \subseteq A [/mm].
Sei [mm] \omega \in B [/mm]. Es gibt einen Weg in B, der z und [mm] \omega [/mm] verbindet.
( Ist das deswegen, weil B ein Sterngebiet ist? )
Deswegen ist
[mm] f( \omega ) - f(z) = \integral_{ \gamma } f' ( \xi ) d \xi = 0 [/mm]
[mm] \rightarrow f ( \omega ) = f (z) = f(z_0) [/mm]
Weil U zusammenhängend ist folgt A = U .
Vielen Dank für die Hilfe!
Viele Grüße
Irmchen
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Hallo!
1.) -Für n [mm] \not= [/mm] -1 gibt es für [mm] (z-a)^{n}, [/mm] eine Stammfunktion auf [mm] \IC
[/mm]
(Nämlich [mm] \bruch{(z-a)^{n+1}}{n+1})
[/mm]
-Sei hingegen n=-1, d.h. wir betrachten [mm] \bruch{1}{z-a}
[/mm]
Betrachte nun [mm] \integral_{|z-a|=r}^{}{f(z) dz},
[/mm]
wobei das Integral über |z-a|=r dem Integral über die Kurve [mm] \gamma [/mm] = a + [mm] r*e^{it}, [/mm] t [mm] \in [/mm] [0; [mm] 2*\pi] [/mm] entspricht (Definition)
Wenn du nun dieses Integral berrechnest, erhältst du also
[mm] \integral_{|z-a|=r}^{}{f(z) dz} [/mm] = [mm] i*2*\pi
[/mm]
[mm] (z-a)^{-1} [/mm] kann also auf einer Umgebung rund um a (z.B. eine Kreisscheibe mit Radius r rund um a) keine Stammfunktion besitzen.
Denn es gilt: Sei U offen, [mm] f:U->\IC [/mm] holomorph, f besitze eine Stammfunktion [mm] F:U->\IC [/mm] , dann ist das Integral über jede geschlossene, stückweise stetige Kurve [mm] \gamma
[/mm]
[mm] \integral_{\gamma}^{}{f(z) dz} [/mm] = 0
D.h. jetzt aber nur, das auf [mm] K_{r}(a) [/mm] keine Stammfunktion existiert. Nimmt man jedoch den Punkt a raus, d.h. man betrachtet [mm] K_{r}\{a}, [/mm] dann kann man hier schon eine (nicht-stetige) Stammfunktion log(z-a) definieren.
z.B. kann man log: [mm] \IC\backslash\{0\} [/mm] -> [mm] \IC [/mm] definieren, mit log(z) = ln(|z|) + i*Arg(z)
Auf [mm] \IC\backslash\{z: Re(z) \le 0, Im(z) = 0\} [/mm] ist log(z) dann auch stetig.
Ich hoffe Teil 1 wäre somit klar.
Für Teil 2 habe ich leider keine Zeit mehr, vielleicht schaffe ich es später noch, mich damit auseinander zu setzen.
lg,
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 18:31 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Hallo!
Vielen Dank für die Bearbeitung vom Teil 1!
Jetzt ist mir das viel klarer, und dazu sind keine Fragen mehr da  .
Ich hoffe sehr, dass mir jemand noch den 2. Teil erklären kann, denn diese Zusammenhänge mit der Statigkeit sind mir ganz unklar, und ich denke, dass das sehr wichtig ist zu verstehen.
Viele Grüße
Irmchen
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Sei A := $ [mm] \{ z \in U | f(z) = w_{0} \}. [/mm] $ [mm] (w_{0} [/mm] = [mm] f(z_{0})
[/mm]
Um zu zeigen, dass A abgeschlossen ist, betrachtet man am besten das Komplement [mm] U\backslash [/mm] A, und zeigt, dass dieses offen ist:
Sei z [mm] \in U\backslash [/mm] A, f(z) = w; w [mm] \not= w_{0} \gdw |w-w_{0}| [/mm] > 0
Sei [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] |w-w_{0}|
[/mm]
Wegen der Stetigkeit von f existiert also ein
[mm] \delta [/mm] : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in U_{\delta}(z) [/mm] : |f(x) - z| < [mm] \bruch{\varepsilon}{2}
[/mm]
Mittels Dreiecksungleichung sieht man nun also, dass [mm] \forall [/mm] x [mm] \in U_{\delta} [/mm] der Abstand zu [mm] w_{0} [/mm] größer als 0 ist, und somit f(x) [mm] \not= w_{0}
[/mm]
[mm] K_{\delta}(z) [/mm] ist also die gesuchte offene Menge rund um z, welche noch ganz in [mm] U\backslash [/mm] A liegt.
Somit ist [mm] U\A [/mm] offen (da z beliebig war) [mm] \gdw [/mm] A abgeschlossen.
Dass für je zwei z,z' [mm] \in [/mm] U ein Verbindungsweg existiert, folgt gerade aus der Definition von Gebiet: Ein Gebiet ist eine offene, zusammenhängende Menge.
Für offene Menge U im [mm] |R^{n} [/mm] gilt: U zusammenhängende [mm] \gdw [/mm] U wegzusammenhängend [mm] \gdw \for [/mm] x,y [mm] \in [/mm] U existiert ein stückweiser linearer "Verbindungsweg"
(Wichtig ist die Offenheit, sonst hat man die Äquivalenz zwischen zusammenhänged und wegzusammenhängend i.A. nicht (siehe z.B. The topologist's sine curve)
Ich hoffe das hilft dir weiter, schönen Abend noch,
lg
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:37 Mi 07.05.2008 | | Autor: | Irmchen |
Vielen Dank!
Das hilft mir sehr!
Viele Grüße
Irmchen
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