Stammfunktion mit bedingung < Integralrechnung < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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| Aufgabe | Gegeben ist [mm] f'(x)=x^2*ax-3
[/mm]
Bestimme diejenige Stammfunktion f, deren Graph in x=1 eine waagerechte Tangente hat und der durch den Punkt P(3|1) geht! |
So mein Ansatz wäre es erstmal eine normale Stammfunktion von f' anzugeben....
aber ich weiß nicht wie ich die bedingungen mit einbeziehen soll! ://
lg
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Hallo summer,
> Gegeben ist [mm]f'(x)=x^2*ax-3[/mm]
> Bestimme diejenige Stammfunktion f, deren Graph in x=1
> eine waagerechte Tangente hat und der durch den Punkt
> P(3|1) geht!
> So mein Ansatz wäre es erstmal eine normale Stammfunktion
> von f' anzugeben....
> aber ich weiß nicht wie ich die bedingungen mit
> einbeziehen soll! ://
Kannst Du noch einmal genau aufschreiben, wie deine Funktion heißt?
[mm]f'(x)=x^2*ax-3= ax^3-3[/mm]
oder vielleicht
[mm]f'(x)=x^2*(ax-3)[/mm] ?
LG, Martinius
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hups das war wohl ein tippfehler...
ich meinte:
[mm] x^2+ax-3
[/mm]
:)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 22:20 So 13.04.2008 | | Autor: | Kroni |
Hi,
f'(x) integriert ergibt doch f(x). f(x) integriert ergibt doch die SF von f.
Beim Integrieren von f'(x) bekommst du eine additive Konstante dazu (denn Konstanten entfallen ja beim Ableiten, d.h. es gibt keine "eine" Stammfunktion, sondern immer nur eine Schar von Stammfunktionen, die sich alle um die additive Konstante unterscheiden). Wenn du dann f nochmal integrierst, hast du zwei "Parameter", nämlich einmal die, die beim integrieren von f'(x) hinzukommt, und einmal die, die beim Integrieren von f dazu kommt. D.h. zwei Unbekannte.
Die eine, gesuchte SF bekommst du nun heraus, indem du die beiden Bedingungen mit einarbeitest. So wählst du dann aus der Schar der Stammfunktionen genau eine heraus, die die genannten Bedingungen erfüllt.
Ein Polynom zu integrieren sollte für dich kein Problem sein.
LG
Kroni
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Hallo summer,
Du musst nur einmal integrieren. Du hast die Bedingungen
f'(1) = 0 und f(3) = 1
$f'(x) = [mm] x^2+ax-3$
[/mm]
$f(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^3+\bruch{a}{2}x^2-3*x+C$
[/mm]
Nun einsetzen:
$f'(1) = 1+a-3=0$
[mm] \Rightarrow [/mm] a = 2
$f(3) = 9+9-9+C = 1$
[mm] \Rightarrow [/mm] C = -8
$f(x) = [mm] \bruch{1}{3}x^3+x^2-3*x-8$
[/mm]
LG, Martinius
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