Steckbriefaufgabe < Ganzrationale Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 04:57 Di 28.02.2006 | | Autor: | Ayhan |
| Aufgabe | | Eine Parabel 4. Ordnung mit der Gleichung f : y = [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm] hat in Q(0/0) einen Wendepunkt mit der x-Achse als Wendetangente und im Punkt N (- 4/ 0) einen Schnittpunkt mit der x-Achse . Die Kurve mit der x Achse begrenzt ,hat den Flächeninhalt 12,8 . Berechne die Gleichung der Kurve . |
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Hallo ,kann mir bitte hier jemand weiter helfen komme mit der aufgabe nicht klar . Habe zwar versucht sie zu lösen , aber habe ne falsche ergebnis bekommen .Wie soll/ kann ich am besten hier vorgehen ?
f(x) = [mm] ax^4+bx^3+cx^2+dx+e [/mm] ( weil 4.Ordnung)
1.) Geht durch Q(0/0) ,weil dort einen Wendepunkt hat .
f (0) = 0 è e = 0, e, fliegt schon mal raus !
und hat in Q (0/0) einen Wendepunkt ,bedeutet :
Ableitungen:
f (x) = [mm] 4ax^3+3bx^2+2cx+d
[/mm]
f (x) = [mm] 12ax^2+6bx+2c
[/mm]
Wie , die Steigung der Wendetangente 0 ist folgt :
f (0) =0 d.h.: [mm] 4a*0^3+3b*0+2c*0+d [/mm] = 0 d = 0 d, fliegt auch raus !
Nun muss auch heißen !
f (0) = 0 [mm] 12a*0^2+6b*0+2c [/mm] = 0 2c =0 /2
c = 0 also c , fliegt auch raus !
Die x-Achse als Tangente wäre : y = 0
Die Wendetangente hat im Punkt N (- 4 / 0 ) noch einen Schnittpunkt mit der x-Achse ,bedeutet ja :
f (- 4 ) = [mm] a(-4)^4 [/mm] + b [mm] (-4)^3+[ [/mm] 0 [mm] (-4)^2 [/mm] + 0 (-4 ) + 0 im gründe genommen nicht nötig .] = 0
256a 64b = 0 / +64b
256a = 64b / 64
4a = b
Einsetzungsverfahren :
256a - 64 * (4a) = 0
256a 256a = 0 / +256a
256a = 256a /256 hier bin ich wohl nicht mehr ganz sicher !
a = 1 a = 1
256 (1) 64b = 0
256 - 64b = 0 / + 64b
256 = 64b /64
4 = b normalerweise ist b doch 4a , das habe ich oben ausgerechnet !
a = 1
b = 4
f(x) = [mm] ax^4+bx^3
[/mm]
= [mm] 1x^4+ [/mm] + [mm] 4x^3 [/mm] <=> [mm] x^4 [/mm] + [mm] 4x^3
[/mm]
Wäre das soweit Korrekt , ist denn das die gesuchte Gleichung : [mm] x^4 +4x^3 [/mm] ???
Nullstellen für die Grenzen :
f(x) = 0
[mm] x^4+4x^3 [/mm] =0
[mm] x^3( [/mm] x+4) =0
x1,2,3 = 0 v x+4 =0 /-4
x = - 4
x4 = -4
Grenzen von 0 bis 4 einsetzen .
f(x) = [mm] x^4+4x^3 [/mm] F(x) = [mm] 1/5x^5 [/mm] + [mm] x^4 [/mm]
Intergral von 4 bis 0 ( 1/5* [ ( [mm] (0)^5+(0)^4 [/mm] ) ( 1/5 (- [mm] 4)^5 [/mm] + (- [mm] 4)^4 [/mm] ) ] = 12,8
= [ (0) ( 204,8 (- 256) ) ] = - 460,8 ???
Wäre Dankbar für eure Hilfe
lg
Ayhan
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:28 Di 28.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ayhan!
> 256a 64b = 0 / +64b
> 256a = 64b / 64
> 4a = b
Bis hierher hast Du alles richtig gerechnet ... ![[applaus]](/images/smileys/applaus.gif "[applaus]") !!
Und nun versuchst Du eine Gleichung mit derselben Gleichung zu lösen, das kann nicht klappen!
> Einsetzungsverfahren :
> 256a - 64 * (4a) = 0
> 256a 256a = 0
Denn wenn Du hier auf der linken Seite zusammenfasst, entsteht: $0 \ = \ 0$ , eine wahre Aussage. Das hilft uns also nicht weiter.
Nun setzen wir zunächst unsere Zwischenergebnisse in die Funktionsgleichung ein:
$f(x) \ = \ [mm] a*x^4+b*x^3+c*x^2+d*x+e [/mm] \ = \ [mm] a*x^4+4a*x^3+0*x^2+0*x+0 [/mm] \ = \ [mm] a*x^4+4a*x^3 [/mm] \ = \ [mm] a*x^3*(x+4)$
[/mm]
Damit ist auch klar, dass es nur zwei Nullstellen gibt (= unsere Grenzen für die Integralrechnung): [mm] $x_1 [/mm] \ = \ -4$ und [mm] $x_2 [/mm] \ = \ 0$ .
Und hier müssen wir nun rechnen:
$A \ = \ 12.8 \ = \ [mm] \integral_{-4}^{0}{a*x^4+4a*x^3 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] a*\integral_{-4}^{0}{x^4+4x^3 \ dx} [/mm] \ = \ [mm] a*\left[\bruch{x^5}{5}+x^4\right]_{-4}^{0} [/mm] \ = \ ...$
Und nun nach $a \ = \ ...$ umstellen.
Gruß
Loddar
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:36 Di 28.02.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo Loddar ,danke das Du es soweit mir geholfen hast,aber wenn ich -4 (die untere Grenze einsetze und diese dann von der oberen wieder abziehe bekomme dann was anderes als 12,8 raus???
Also :
Stammfkt.war : a* [ ( 0 ) - (- [mm] 4)^5 [/mm] / 5 [mm] +(-4)^4] [/mm]
= - a *( - 204,8 - 256 )
=> a* (204,8+256 )=a * 460,8
bekomme wieder 460,8 anstatt 12,8 .???
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 18:47 Di 28.02.2006 | | Autor: | Ayhan |
hallo Loddar,
ist also a = -0,25 ?
habe : -51,2 * a = 12,8 gleichgesetzt ,dann durch (-51,2) dividiert .
Ergebnis -0,25
Ich dachte die Fläche muss gleich sein,und wenn ich -0,25 in eine gleichung einsetze bekomme ich eben nicht 12,8 ???
Gruß
Ayhan
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(Antwort) fehlerhaft  | | Datum: | 18:55 Di 28.02.2006 | | Autor: | Loddar |
Hallo Ayhan!
> habe : -51,2 * a = 12,8 gleichgesetzt ,dann durch
> (-51,2) dividiert .
> Ergebnis -0,25
![[daumenhoch]](/images/smileys/daumenhoch.gif "[daumenhoch]") !
> Ich dachte die Fläche muss gleich sein,und wenn ich -0,25
> in eine gleichung einsetze bekomme ich eben nicht 12,8 ???
Wenn Du nun dieses $a \ = \ -0.25$ in die Funktionsgleichung einsetzt, erhältst Du:
$f(x) \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*x^3*(x+4) [/mm] \ = \ [mm] -\bruch{1}{4}*x^4-x^3$
[/mm]
Und genau diese Funktion sollte nun die geforderten Eigenschaften habe sowie die Fläche $A \ = \ 12.8 \ [F.E.]$ einschließen.
Und das stimmt auch so:
[Dateianhang nicht öffentlich]
Gruß
Loddar
Dateianhänge:
Anhang Nr. 1 (Typ: png) [nicht öffentlich]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:02 Di 28.02.2006 | | Autor: | Ayhan |
Hallo Loddar ,
habe die aufgabe nicht so recht verstanden gehabt,werde es versuchen es noch mal ganz nach zu vollziehen.Meine Mathe kenntnisse sind einwenig eingerostet was das Steckbriefaufgaben anbelangt , hoffe das ich das wieder hinkriege.
Danke für Deine Hilfe
Gruß
Ayhan
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![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]"){kind=small}
Bis hierher richtig ...
![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]"){kind=small}
Das [mm] $(-4)^4$ [/mm] ist positiv, daher:
