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| Aufgabe | Begründen Sie, dass die folgenden Funktionen auf ihrem Definitionsbereich D stetig sind. Untersuchen Sie, ob sich in den Lücken von D Funktionswerte so festlegen lassen, dass Funktionen entstehen, die überall stetig sind;
a) [mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{|x|}
[/mm]
b) [mm] f(x)=\bruch{1-x}{1-|x|}
[/mm]
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Einen wunderschönen Sonntag, ich wundere mich schon die ganze Zeit über die Aufgabenstellung, aber so steht sie auf unserem Übungsblatt, im 1. Satz steht Funktionen sind stetig, im 2. Satz wir von den Lücken gesprochen. Sollte im 1. Satz nicht stehen, Überprüfen sie ob Funktionen stetig sind?
Ich habe mir überlegt:
a)
1. Fall: x<0, somit [mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{-x}
[/mm]
2. Fall: x>0, somit [mm] f(x)=\bruch{x^{2}}{x}
[/mm]
die Funktion hat an der Stelle x=0 im Definitionsbereich eine Lücke, die Division durch Null ist nicht definiert, sie ist nicht stetig, jetzt soll ich ja noch Funktionswerte in den Lücken festlegen, würde ich den Punkt P(0; 0) hinzufügen, wäre die Funktion doch stetig?
b)
An der Stelle x=1 ist im Definitionsbereich eine Lücke, die Funktion ist nicht stetig, diese könnte ich mit dem Punkt P(1; 1) füllen.
An der Stelle x=-1 liegt eine senkrechte Asymptote vor, diese Lücke im Definitionsbereich kann durch keinen Punkt geschlossen werden, der linksseitige und rechtsseitige Grenzwert ist ja minus unendlich bzw plus unendlich.
würden diese Ausführungen für meine Übungsaufgabe schon reichen Zwinkerlippe
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Hallo!
Deine Ausführungen sind so schon richtig.
Deinen Widerspruch allerdings gibt es nicht, denn da steht, 'Stetig im Definitionsbereich'. Deine Lücken etc. liegen eben NICHT im Definitionsbereich.
Die Funktionen sind demnach stetig in D, aber NICHT in [mm] \IR.
[/mm]
Eine im Definitionsbereich unstetige Funktion wäre
[mm] f(x)=\begin{cases} 2 & \mbox{für } x >0 \\ 3 & \mbox{für } \le 0 \end{cases}
[/mm]
denn 0 liegt hier auch im Definitionsbereich.
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Danke für Deine Erklärung, ich werde versuchen, in Zukunft auf solche Feinheiten in den Formulierungen zu achten, Zwinkerlippe
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