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Bestimmen Sie für die folgende Funktion [mm] f:[\bruch{1}{2},2] \to \IR [/mm] zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 so dass |f(x) - f(1)| < [mm] \varepsilon [/mm] für alle x [mm] \in [\bruch{1}{2},2] [/mm] mit |x - 1| < [mm] \delta
[/mm]
f(x) = [mm] \bruch{1}{4 + x^{2}}
[/mm]
Habs eigentlich schon komplett bin mir aber mehr als unsicher ob das richtig ist was ich da gebastelt. Würd mich über Bestätigung oder eventuel Hilfe freuen:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] beliebig, wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon,
[/mm]
sei x [mm] \in [\bruch{1}{2},2] [/mm] mit |x - 1| < [mm] \delta
[/mm]
=> |f(x) - f(1)| = [mm] |\bruch{1 - x^{2}}{20 + x^{2}}| [/mm] = [mm] |\bruch{(1 - x)(1 + x)}{20 + x^{2}}| [/mm] < |(1 + x)(1 - x)| [mm] \le [/mm] |1 - x| = |x - 1| < [mm] \delta [/mm] = [mm] \varepsilon [/mm]
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> Bestimmen Sie für die folgende Funktion [mm]f:[\bruch{1}{2},2] \to \IR[/mm]
> zu jedem [mm]\varepsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 so dass |f(x) -
> f(1)| < [mm]\varepsilon[/mm] für alle x [mm]\in [\bruch{1}{2},2][/mm] mit |x
> - 1| < [mm]\delta[/mm]
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> f(x) = [mm]\bruch{1}{4 + x^{2}}[/mm]
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> Habs eigentlich schon komplett bin mir aber mehr als
> unsicher ob das richtig ist was ich da gebastelt. Würd mich
> über Bestätigung oder eventuel Hilfe freuen:
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> Sei [mm]\varepsilon[/mm] beliebig, wähle [mm]\delta[/mm] = [mm]\varepsilon,[/mm]
> sei x [mm]\in [\bruch{1}{2},2][/mm] mit |x - 1| < [mm]\delta[/mm]
>
> => [mm]|f(x) - f(1)| = |\bruch{1 - x^{2}}{20 + x^{2}}| =
|\bruch{(1 - x)(1 + x)}{20 + x^{2}}| \red{<} |(1 + x)(1 - x)| \le
|1 - x| = |x - 1| < \delta = \varepsilon[/mm]
Bei der Vereinfachung von $|f(x)-f(1)|$ ist Dir ein kleines Fehlerchen unterlaufen. Es ist:
[mm]|f(x)-f(1)|=\Big|\frac{1}{4+x^2}-\frac{1}{4+1^2}\Big|=\Big|\frac{1}{4+x^2}-\frac{1}{5}\Big|=\Big|\frac{1-x^2}{20+\blue{5}x^2}\Big|[/mm]
Die weiteren Schritte der Abschätzung dieser Differenz nach oben kannst Du aber beibehalten, sofern Du das Ungleichheitzeichen [mm] $\red{<}$ [/mm] auf [mm] $\red{\leq}$ [/mm] abschwächst. Denn $x$ kann im Prinzip $1$ sein, und in diesem Falle wäre $|(1+x)(1-x)|=0$.
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:11 So 13.01.2008 | | Autor: | berlin06 |
ich hab mal ne frage zu einer umformung:
wieso gilt: |(1+x)(1-x)| kleiner gleich als |1-x|
ist das ein gesetz das ich anscheinend nich kenne?
gegenbeispiel: für x=2 gilt ja dann nach einsetzen dass 3 < 1 ist ???
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> ich hab mal ne frage zu einer umformung:
> wieso gilt: |(1+x)(1-x)| kleiner gleich als |1-x|
> ist das ein gesetz das ich anscheinend nich kenne?
Nein, Du hast ganz recht: diese Umformung war falsch. Weil aber [mm] $x\in[1/2;2]$ [/mm] vorausgesetzt wird, kann $|1+x|$ immerhin nicht grösser als $3$ werden. So dass man wenigstens dies hätte
[mm]\ldots\leq |(1+x)(1-x)|=|1+x|\cdot|1-x|\leq 3|x-1| < 3\delta = \varepsilon[/mm]
Sofern man [mm] $\delta$ [/mm] um einen Faktor $3$ kleiner wählt als [mm] $\varepsilon$, [/mm] d.h. [mm] $\delta [/mm] := [mm] \frac{\varepsilon}{3}$.
[/mm]
> gegenbeispiel: für x=2 gilt ja dann nach einsetzen dass 3
> < 1 ist ???
Es geht nichts über aufmerksame Leser: vielen Dank für Deine Frage bzw. Fehlermeldung.
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