Stetigkeit < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Status: |
(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:25 Di 02.12.2008 | | Autor: | Palonina |
| Aufgabe | Man untersuche, in welchen Punkten die Funktion
$ x [mm] \mapsto \begin{cases} 2x^2 & \mbox{} x \in \IQ \mbox{} \\ x^3+x & \mbox{ } x \notin \IQ \mbox{} \end{cases}$
[/mm]
stetig ist.
|
Hallo,
ich habe mir gedacht, dass mögliche Punkte, in denen die Funktion stetig ist, Schnittpunkte der beiden Teilfunktionen sein müssen. Durch gleichsetzen habe ich $x=0$ und $x=1$ herausbekommen. Wie begründet man das formal?
An diesen beiden Stellen muss ich jetzt noch untersuchen, ob der Grenzwert existiert. Muss ich das mit dem [mm] $\epsilon-\delta-$Kriterium [/mm] machen? Damit habe ich so meine Probleme.
Für $x=0$: 1. rational
Sei [mm] $|x-0|<\delta$. [/mm] Dann ist
$|f(x)-f(0)|= [mm] |2x^2-0| =2x^2 \leq 2\delta^2 [/mm] < [mm] \epsilon$ [/mm] für [mm] $\delta<\sqrt{\frac{\epsilon}{2}}$
[/mm]
2. irrational
Sei [mm] $|x-0|<\delta$. [/mm] Dann ist
$|f(x)-f(0)|= [mm] |x^3+x| \leq \delta^3+\delta$. [/mm] Wie kann ich das noch umformen. damit ich eine Bedingung für [mm] $\delta$ [/mm] finde?
An der Stelle $x=1$ bin ich auch hängen geblieben:
Sei [mm] $|x-1|<\delta$. [/mm] Dann ist
$|f(x)-f(1)|= [mm] |2x^2-2| =2|(x-1)(x+1|\leq 2\delta [/mm] |x+1|$
Wie kann ich dies weiter abschätzen und das x wegbekommen?
Viele Grüße,
Palonina
|
|
| |
|
Hallo Palonina,
das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] ist hier in der Tat nicht praktisch. Dafür genügt es zu zeigen, dass der "rationale Grenzwert" und der "irrationale Grenzwert" gleich sind.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:21 Di 02.12.2008 | | Autor: | Palonina |
Meine beiden Stellen $x=0$ und $x=1$ sind ja rational, kann ich hier als Grenzwert für die rationalen Teilfunktion $f(0)$ bzw. $f(1)$ verwenden? Und wie berechne ich den Grenzwert für die irratioane Teilfunkztion?
Da ich meine Probleme mit dem [mm] $\epsilon-\delta- [/mm] Kriterium$ habe, würde ich die Aufgabe zu Übungszwecken gerne auch noch auf diesem Weg lösen. Kann mir da jemand vielleicht noch weiterhelfen?
Gruß,
Palolina
|
|
|
| |
|
Machs Dir einfach: betrachte die rationalen und die irrationalen Grenzwerte mit ihren jeweils unterschiedlichen Funktionen an beiden Stellen einfach in [mm] \IR. [/mm] Da existieren für beide Funktionen (die hier ja irgendwie vermischt werden) die Grenzwerte. Wenn Du das hast, kannst Du Dich ja mal fragen, ob sich die Grenzwerte verändern, wenn Du gar nicht ganz [mm] \IR [/mm] betrachtest, sondern nur [mm] \IQ [/mm] oder eben [mm] \IR [/mm] \ [mm] \IQ.
[/mm]
Das [mm] \varepsilon-\delta-Kriterium [/mm] führt hier nicht zu auflösbaren Gleichungen bzw. Ungleichungen. Übe es lieber an anderen Aufgaben als an dieser.
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 21:28 Di 02.12.2008 | | Autor: | hobes |
Ja genau.
Lass mal den Grenzwert [mm] \limes_{x\rightarrow 0, x \in \IQ}f(x) [/mm] und [mm] \limes_{x\rightarrow 0, x \in \IR}f(x) [/mm] laufen und vergleich die beiden Ergebnisse.
Für x=1 dann analog.
|
|
|
|
