Stetigkeit / Äquivalenzen < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 21:32 Mi 14.03.2012 | | Autor: | Lu- |
| Aufgabe | Folgende Stetigkeitsdefinitionen an einer Stelle $ [mm] x_0 \in \IR [/mm] $ für etwa eine Funktion $ f: [mm] \IR \to \IR [/mm] $sind äquivalent:
1.) $ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \red{<}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon\,, [/mm] $
2.) $ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \red{\le}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon\,, [/mm] $
3.) $ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \red{<}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon\,, [/mm] $
4.) $ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \red{\le}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon\,. [/mm] $ |
Diese Frage hab ich hier: https://matheraum.de/read?t=874087 entdeckt.
Und da ich grad an der Stetigkeit dran bin, würde ich gerne das Beispiel verstehen!!
In der Vorlesung hatten wir:
Eine Funktion f ist stetig an [mm] x_0 [/mm] wenn
[mm] x_0 \in [/mm] D und f:D -> [mm] \IR
[/mm]
[mm] \forall \varepsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] >0 : [mm] \forall [/mm] x [mm] \in [/mm] D : [mm] |x-x_0 [/mm] | < [mm] \dela [/mm] => |f(x) - [mm] f(x_0)| [/mm] < [mm] \varepsilon
[/mm]
Aber wie geht man das obige Beipiel an?
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 14:17 Do 15.03.2012 | | Autor: | cycore |
Hallo,
> Folgende Stetigkeitsdefinitionen an einer Stelle [mm]x_0 \in \IR[/mm]
> für etwa eine Funktion [mm]f: \IR \to \IR [/mm] sind äquivalent:
>
> 1.) [mm]\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0: |x-x_0|\; \red{<}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon\,,[/mm]
>
> 2.) [mm]\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0: |x-x_0|\; \red{\le}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon\,,[/mm]
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> 3.) [mm]\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0: |x-x_0|\; \red{<}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon\,,[/mm]
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> 4.) [mm]\forall \epsilon > 0 \exists \delta > 0: |x-x_0|\; \red{\le}\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon\,.[/mm]
>
> [...]
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> Und da ich grad an der Stetigkeit dran bin, würde ich
> gerne das Beispiel verstehen!!
Nun, an der obigen Aufgabe lernt man eher weniger über stetigkeit (außer daß es egal, ist ob die Ungeleichungen echt sind oder nicht), als das sie überprüft (es scheint ja eineKlausuraufgabe zu sein), inwieweit der Prüfling in der Lage ist Beweise zu strukturieren. Wenn man hier nämlich klassischer Weise einen Ringschluß ansetzt, d.h. stur [mm]1)\Rightarrow 2)\Rightarrow 3)\Rightarrow 4)\Rightarrow 1)[/mm] zeigt, macht man sich viel zu viel Arbeit.
>
> [...]
>
> Aber wie geht man das obige Beipiel an?
>
Wenn du genau hinsiehst wirst du feststellen, daß für die folgenden Implikationen nichts zu zeigen ist:
[mm]2)\Rightarrow 1),\;2)\Rightarrow 4)[/mm] und jeweils [mm]1)\text{ oder } 4)\Rightarrow 3)[/mm]. Vergewissere dich davon indem du dir jede genau überlegst. Das ist etwas zum hinsehen und kaum wert aufgeschrieben zu werden.
Um die Äquivalenz aller Aufgaben zu zeigen genügt es also [mm]3)\Rightarrow 2)[/mm] zu zeigen.
Dazu eine kleine Anleitung. Gebe dir ein beliebiges [mm]\varepsilon>0[/mm] vor. Wenn 3) gilt, dann gibt es ein [mm]\delta'>0[/mm] so, daß für alle [mm]x[/mm] mit [mm]|x-x_0|<\delta'[/mm] gilt [mm]|f(x)-(x_0)|\leq\varepsilon/2[/mm]. Dann wähle [mm]\delta = \delta'/2[/mm] und zeige, dass damit 2) erfüllt ist.
Gruß Cycore
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 15:55 Fr 16.03.2012 | | Autor: | Lu- |
Könntest du mir die "triviale" Implikation 2->4 vlt kurz erklären?
Vielen lieben dank
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(Antwort) fertig | | Datum: | 19:23 Fr 16.03.2012 | | Autor: | tobit09 |
Hallo Lu-,
> Könntest du mir die "triviale" Implikation 2->4 vlt kurz
> erklären?
2.) $ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \le\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon\,, [/mm] $
4.) $ [mm] \forall \epsilon [/mm] > 0 [mm] \exists \delta [/mm] > 0: [mm] |x-x_0|\; \le\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon\,. [/mm] $
Das Wesentliche ist, dass die Bedingung [mm] $|f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon$ [/mm] insbesondere die Bedingung [mm] $|f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon$ [/mm] impliziert.
Ausführlich:
Sei [mm] $\epsilon>0$. [/mm] Nach 2.) existiert ein [mm] $\delta>0$ [/mm] mit
(*) [mm] $|x-x_0|\; \le\; \delta \Rightarrow |f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon$.
[/mm]
Wir zeigen, dass dieses [mm] $\delta$ [/mm] das Gewünschte leistet.
Sei dazu [mm] $x\in\IR$ [/mm] mit [mm] $|x-x_0|\;\le\;\delta$.
[/mm]
Nach (*) gilt [mm] $|f(x)-f(x_0)|\; \red{<}\; \epsilon$ [/mm] und somit insbesondere [mm] $|f(x)-f(x_0)|\; \red{\le}\; \epsilon$.
[/mm]
Viele Grüße
Tobias
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