Stetigkeit des Integrals < Integrationstheorie < Maß/Integrat-Theorie < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 17:47 Do 24.11.2011 | | Autor: | shadee |
| Aufgabe | | Sei [mm] (S,\mathcal{F},\mu) [/mm] ein Maßraum unf f integrierbar. Zeige, dass es zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 ein [mm] \delta [/mm] > 0 gibt, so dass | [mm] \integral_{A}^{}{f d\mu} [/mm] | [mm] \le \epsilon [/mm] für jedes A [mm] \in \mathcal{F} [/mm] mit [mm] \mu(A) \le \delta. [/mm] |
| [mm] \integral_{A}^{}{f d\mu} [/mm] | ist ja definiert als | [mm] \integral_{A}^{}{f*\chi_{A} d\mu} [/mm] |, wobei [mm] \chi_{A} [/mm] die charakteristische Funktion auf Mengen ist und [mm] \chi_{A} [/mm] = [mm] \mu(A). [/mm] Jetzt kann ich ja die Hölder-Ungleichung anwenden und sage | [mm] \integral_{A}^{}{|f*\chi_{A}|^{p} d\mu} |^{\frac{1}{p}} \le [/mm] | [mm] \integral_{A}^{}{|f|^{p} d\mu}|^{\frac{1}{p}} [/mm] * | [mm] \integral_{A}^{}{|\chi_{A}|^{q} d\mu} |^{\frac{1}{q}}. [/mm] Damit wäre also mein [mm] \epsilon [/mm] definiert. Mein [mm] \delta [/mm] wäre aber auch festgelegt. Jetzt weiß ich aber nicht, ob ich fertig bin. Da ich iwie gar nix gezeigt habe. Muss ich jez noch zeigen, dass beides größer 0 ist. Und das die Abschätzungen gelten für alle Mengen A?
Eine konrete Aufgabe dazu wäre | [mm] \integral_{B_{r}(0)}^{}{f d\lambda^{k}} [/mm] | [mm] \le \epsilon [/mm] für r [mm] \le \delta. [/mm]
Danke für alle Hinweise. Gruß shadee
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 10:07 Fr 25.11.2011 | | Autor: | fred97 |
> Sei [mm](S,\mathcal{F},\mu)[/mm] ein Maßraum unf f integrierbar.
> Zeige, dass es zu jedem [mm]\epsilon[/mm] > 0 ein [mm]\delta[/mm] > 0 gibt,
> so dass | [mm]\integral_{A}^{}{f d\mu}[/mm] | [mm]\le \epsilon[/mm] für
> jedes A [mm]\in \mathcal{F}[/mm] mit [mm]\mu(A) \le \delta.[/mm]
> |
> [mm]\integral_{A}^{}{f d\mu}[/mm] | ist ja definiert als |
> [mm]\integral_{A}^{}{f*\chi_{A} d\mu}[/mm] |,
Du meinst wohl [mm]\integral_{S}^{}{f*\chi_{A} d\mu}[/mm] |,
> wobei [mm]\chi_{A}[/mm] die
> charakteristische Funktion auf Mengen ist und [mm]\chi_{A}[/mm] =
> [mm]\mu(A).[/mm] Jetzt kann ich ja die Hölder-Ungleichung anwenden
> und sage | [mm]\integral_{A}^{}{|f*\chi_{A}|^{p} d\mu} |^{\frac{1}{p}} \le[/mm]
> | [mm]\integral_{A}^{}{|f|^{p} d\mu}|^{\frac{1}{p}}[/mm] * |
> [mm]\integral_{A}^{}{|\chi_{A}|^{q} d\mu} |^{\frac{1}{q}}.[/mm]
> Damit wäre also mein [mm]\epsilon[/mm] definiert.
Das ist doch Blödsinn !! Du sollst zeigen: zu jedem [mm]\epsilon[/mm] >0 gibt es ein [mm] \delta> [/mm] 0 mit .....
Also mußt Du folgendes machen: gib ein [mm]\epsilon[/mm] >0 vor und kitzle irgendwie ein [mm] \delta [/mm] >0 heraus, welches die Gewünschte Eigenschaft hat.
> Mein [mm]\delta[/mm] wäre
> aber auch festgelegt. Jetzt weiß ich aber nicht, ob ich
> fertig bin.
Noch lange nicht !
> Da ich iwie gar nix gezeigt habe.
So ist es.
FRED
> Muss ich jez
> noch zeigen, dass beides größer 0 ist. Und das die
> Abschätzungen gelten für alle Mengen A?
>
> Eine konrete Aufgabe dazu wäre |
> [mm]\integral_{B_{r}(0)}^{}{f d\lambda^{k}}[/mm] | [mm]\le \epsilon[/mm] für
> r [mm]\le \delta.[/mm]
>
> Danke für alle Hinweise. Gruß shadee
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