Stetigkeit in einem Intervall < Stetigkeit < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
Hallo,
nun ist es soweit. Das Semester neigt sich dem Ende zu und ich versuch
das alles aufzuarbeiten und zu lernen. Momentan hakt es bei einem Thema
und ich hoffe ihr könnt mir helfen.
Also: Es geht um Stetigkeit insbesondere mit dem [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Verfahren.
Frage: Wie zeige ich, dass eine vorgegebene Funktion im gesamten Defintionsbereich stetig ist?
Bsp. [mm] x^{2} [/mm] in ganz [mm] \IR
[/mm]
Ich mein, bei dieser Funktion, weiß ich wie sie verläuft und kann erahnen
dass sie stetig ist. Aber wie gehe ich vor, (am beispiel gezeigt) wenn ich
garnicht weiß wie diese aussieht z.b. bei irgendeiner Wild gebrochenrationalen Funktion?
Ich würde mich sehr über eure Hilfen zum Vorgehen freuen :)
Vielen Dank im Vorraus!
LG
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 23:22 Do 17.01.2008 | | Autor: | zahllos |
Ich gehe mal davon aus, dass Du die [mm] \varepsilon [/mm] - [mm] \delta [/mm] - Definition der Stetigkeit kennst.
Bei der Funktion f(x) = [mm] x^2 [/mm] kann man so vorgehen:
Sei [mm] \varepsilon [/mm] > 0 gegeben und x [mm] \in \IR [/mm]
Wähle [mm] \delta [/mm] = [mm] x-\wurzel{x-\varepsilon} [/mm] so gilt für alle [mm] z\in ]x-\delta,x+\delta[ [/mm] dass [mm] z^2\in ]x^2-\varepsilon;x^2+\varepsilon[
[/mm]
Man legt um den Bildpunkt ein [mm] \varepsilon [/mm] -Intervall [mm] U_y [/mm] und versucht
ein [mm] \delta [/mm] -Intervall [mm] U_x [/mm] um den Urbildpunkt so zu bestimmen, dass das
Bild von [mm] U_x [/mm] in [mm] U_y [/mm] liegt.
|
|
|
| |
|
Okay,.. das hab ich jetzt verstanden. Mein Problem ist nun, wenn
ich jetzt eine Funktion habe, bei der ich mir nicht vorstellen kann
wie diese verläuft (hilfsmittel sind in der Klausur nicht erlaubt)...
wie kann ich denn dann damit vorgehen? ich weiß ja quasi nicht
ob definitionslücken auftreten.. !? oder die Funktion unstetig wird
sodass dieses Verfahren eben gilt!?
Ergo ich kann dieses verfahren doch nur anwenden, wenn ich auch weiß
(ungefähr) wie sie verläuft und ob sie auch stetig ist?
Vielen Dank für eure Mühen :)
|
|
|
| |
|
> Okay,.. das hab ich jetzt verstanden. Mein Problem ist nun,
> wenn
> ich jetzt eine Funktion habe, bei der ich mir nicht
> vorstellen kann
> wie diese verläuft (hilfsmittel sind in der Klausur nicht
> erlaubt)...
>
> wie kann ich denn dann damit vorgehen? ich weiß ja quasi
> nicht
> ob definitionslücken auftreten.. !? oder die Funktion
> unstetig wird
> sodass dieses Verfahren eben gilt!?
>
> Ergo ich kann dieses verfahren doch nur anwenden, wenn ich
> auch weiß
> (ungefähr) wie sie verläuft und ob sie auch stetig ist?
Nein. Man beweist zu diesem Zweck diverse Sätze, wie etwa, dass die Summen und Differenzen von stetigen Funktionen stetig sind. Ebenso deren Produkt und deren Quotient (sofern der Nenner an der betreffenden Stelle [mm] $\neq [/mm] 0$ ist). Dann beweist man noch von wichtigen Grundfunktionen, dass sie stetig sind. Etwa von den Potenzfunktionen [mm] $x\mapsto x^n$.
[/mm]
Dies erlaubt einem sogleich zu schliessen, dass ganzrationale Funktionen stetig sind: denn es handelt sich um Summen von Produkten stetiger Funktionen (konstante Koeffizienten [mm] $a_n$ [/mm] kann man auffassen als konstante (und daher stetige) Funktionen [mm] $x\mapsto a_n$).
[/mm]
Des weiteren kann man auch schliessen, dass gebrochenrationale Funktionen stetig sind (sofern sie an der betreffenden Stelle nicht gerade eine Polstelle / Definitionslücke haben).
usw. usf.
|
|
|
|
