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Forum "Wahrscheinlichkeitstheorie" - Stochastische Konvergenz
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Stochastische Konvergenz: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 21:37 Di 10.10.2006
Autor: HomerJ

Aufgabe
Sei (X_n|n \in \mathbbb{N}) eine Folge von Zufallsvariablen, die wie folgt verteilt ist X_n=\begin{cases} a_n, & \mbox{mit Wahrscheinlichkeit 0,5\ } \\ b_n, & \mbox{mit Wahrscheinlichkeit 0,5\ } \end{cases}, wobei (a_n)_{n\in\mathbbb{N}} und (b_n)_{n\in\mathbbb{N}} Nullfolgen sind, d.h.,
lim_{n \rightarrow \infty} a_n = 0 und lim_{n \rightarrow \infty} b_n = 0.
Zeigen Sie, dass die Folge X_n stochastisch gegen Null konvergiert.

Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.

Also stochastische Konvergenz kenne ich in Verbindung mit dem schwachen Gesetz der Großen Zahlen, wenn man n unabhängige, identisch Verteilte (u.i.v.) Zufallsvariable X_1...X_n. Schaut man sich die Funktion \bar X=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k kann man mit der Tschebyschevschen Ungleichung zeigen, dass die WS, dass \bar X von E X_k um mehr als jedes noch so kleines \epsilon abweicht, kleiner gleich null ist. Das bezeichnet man (nach meinem Wissenstand) als stochastische Konvergenz von \bar X.

Problem bei der Aufgabe: Beim Schwachen Gesetz der Großen Zahlen habe ich eine Funktion über die X_1...X_n, und ich kann deshalb die Tschebyschevsche Ungleichung ansetzen: P(|\bar X - E[\bar X] \ge \epsilon) \le \frac{var[\bar X]}{\epsilon^2} und problemlos zeigen, dass die Rechte Seite Null wird für große n.
Hier: habe ich einfach nur eine Zusammenhangslose Folge von Zufallsvariablen (X_n|n \in \mathbbb{N}), wobei jede Ausprägung von X_n irgendein Folgenglied ist. Ohne eine Funktion (wie beim Gesetz der großen Zahlen \bar X=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k), welche die X_n irgendwie zusammenfasst, weiss ich gar nicht, was für eine Konvergenz ich hier zeigen soll (beim Gesetz der großen Zahlen zeigt man ja die stochastische Konvergenz der Funktion \bar X=\frac{1}{n}\sum_{k=1}^n X_k über die X_n.  Wo stehe ich auf dem Schlauch?
        
Bezug
Stochastische Konvergenz: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 22:20 Fr 13.10.2006
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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