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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 16:48 Sa 06.11.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
| Aufgabe | Seien m,n [mm] \in \IN [/mm] und A [mm] \in K^{m \times n}.Man [/mm] nennt A eine Stufenmatrix,wenn [mm] A=\pmat{ 0 & 0 & a_{1j1} &...*&...& & \\ . & . & 0 & 0 & ...a_{2j2} & & \\ . & . & . & 0 & & a_{rjr} \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 }
[/mm]
wobei 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] m,n (r=0:A=0) und 1 [mm] \le j_{1} [/mm] < [mm] j_{2} <...
Mit anderen Worten: es gibt Zahlen [mm] r,j_{1},...,j_{r} \in \IN [/mm] mit 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] m,n, 1 [mm] \le j_{1}<...
[mm] 1.\forall [/mm] i>r, j [mm] \in \{1,...,n \}:a_{ij}=0 [/mm] und
[mm] 2.\forall [/mm] i [mm] \in \{1,...,r \}:a_{iji} \not=0 [/mm] und [mm] a_{ij}=0 [/mm] für alle j [mm] \in \{1,2,...,j_{i}-1 \}.
[/mm]
Die Einträge [mm] a_{iji} [/mm] heißen Pivots oder Angelpunkte.Die ji-ten Spalten heißen Stufenspalten.r ist die Anzahl der Stufenspalten |
Hallo zusammen^^
Ich versuche grad die Definition der Stufenmatrix zu verstehen und hab an einigen Stellen Probleme.
Zunächst haben wir zwei natürliche Zahlen m und n und eine m [mm] \times [/mm] n Matrix.
So jetzt steht da 0 [mm] \le [/mm] r [mm] \le [/mm] m,n.Das bedeutet doch,dass es mindestens eine Stufenspalte in einer Stufenmatrix geben muss und dass es höchstens m oder n Stufenspalten geben kann.Wieso kann es m Studenspalten geben,denn wenn ich z.B. eine 5 [mm] \times [/mm] 3 Matrix habe,dann kann es nur höchstens 3 Stufenspalten geben, wieso steht dieses m da?
Dann steht da r=0:A=0. Bedeutet das,dass wenn ich 0 Stufenspalten habe,dass dann alle Elemente der Matrix A 0 sind?
Als nächstes steht [mm] da:\forall [/mm] i>r, j [mm] \in \{1,...,n \}:a_{ij}=0
[/mm]
Das versteh ich auch nicht so ganz,was bedeutet auf einmal dieses i?Ich glaube es ist die Indizierung der Zeilen,aber es steht halt nicht explizit da.
Ich will das mal verbalisieren,vielleicht versteh ich das dann besser.Heißt das dann: "Alle Elemente der Matrix A,die in einer höheren Zeile stehen,als es Stufenspalten gibt sind 0" ?
Vielen Dank
lg
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Hallo Mandy
kurz gesagt:
eine Matrix liegt in Zeilenstufenform vor wenn:
- alle vollständigen Nullzeilen am Ende der Matrix sind
- die Zahlen links bis unter einem Leitelement ( = 1. nicht-Null -Element einer Zeile) immer Null sind
das ergibt eine Matrix mit einer "Diagonalen", links unter der Diagonalen sind alles Nullen
mit diesen Informationen kannst du hoffentlich auch die mathematischen Erklärungen verstehen
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:13 So 26.12.2010 | | Autor: | Mandy_90 |
Hallo,
> kurz gesagt:
> eine Matrix liegt in Zeilenstufenform vor wenn:
> - alle vollständigen Nullzeilen am Ende der Matrix sind
Was genau meinst du mit "Ende" der Matrix?
> - die Zahlen links bis unter einem Leitelement ( = 1.
> nicht-Null -Element einer Zeile) immer Null sind
>
> das ergibt eine Matrix mit einer "Diagonalen", links unter
> der Diagonalen sind alles Nullen.
Ok,ich hab hier ein paas Beispiele:
[mm] 1.\pmat{ 0 & 2 \\ 0 & 0 }, [/mm] diese Matrix ist eine Stufenmatrix und hier ist angeblich nur die 2.Spalte eine Stufenspalte.Meintest du das mit den Nullzeilen, dass immer nur die letzte Zeile bzw. Zeilen Nullzeilen sein dürfen,wie bei dieser Matrix?
[mm] 2.\pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & -1 }. [/mm] Das ist auch eine Stufenmatrix,aber hier habe ich keine wirklich Diagonale und nur die erste und dritte Spalte sind Stufenspalten, wenn die Matrix so aussehen würde: [mm] \pmat{ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 }, [/mm] dann wäre es doch immer noch Stufenmatrix oder?
lg
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Hallo Mandy
Genau, wenn Nullzeilen vorhanden sind, müssen die immer unter den anderen Zeilen stehen.
Zu deinem 2. Bsp:
Beide Matrizen sind in der Zeilenstufenform. Die Diagonale die sich ergibt muss nicht unbedingt genau in einem 45 Grad Winkel verlaufen. Wenn man eine Diagonale ziehen kann und alle Elemente links unter der Diagonale Nullen sind ist die Zeilenstufenform erreicht.
Wichtiger als die Hilfe mit der Diagonale ist aber die Definition, dass links unter und unter dem 1. Leitelement einer Zeile immer Nullen stehen müssen damit die Zeilenstufenform erreicht wird.
Gruss
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