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Substruktur/Unterstruktur: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 19:10 Sa 30.04.2016
Autor: sissile

Aufgabe
Es seien [mm] \mathcal{A} [/mm] und [mm] \mathcal{B} [/mm] L-Strukturen. Dann heißt [mm] \mathcal{A} [/mm] Unterstruktur von [mm] \mathcal{B} [/mm] (bezeichnet [mm] \mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}), [/mm] wenn A [mm] \subseteq [/mm] B (Grundmengen) und
(1) für n stelliges R [mm] \in [/mm] L, [mm] R^{\mathcal{A}}= R^{\mathcal{B}} \cap A^n [/mm]
(2) für n stelliges f [mm] \in [/mm] L, [mm] f^{\mathcal{A}}= f^{\mathcal{B}} [/mm] | [mm] A^n [/mm] (Einschränkung auf [mm] A^n) [/mm]
(3) für Konstanten [mm] c\in [/mm] L ist [mm] c^{\mathcal{A}} [/mm] = [mm] c^{\mathcal{B}} [/mm]
Sei X eine nichtleeren teilmenge von [mm] \mathcal{B} [/mm] und
[mm] G:=\bigcup_{n\in \mathbb{N}} \{t^{\mathcal{B}}[b_1,..,b_n]:b_1,..,b_n \in X, t(x_1,..,x_n) \mbox{ L-Term}\} [/mm]

Frage:
Ich bin dabei zuzeigen, dass G Grundmenge einer Unterstruktur von [mm] \mathcal{B} [/mm] ist also: [mm] \mathcal{C} \subseteq \mathcal{\beta} [/mm] wobei G die grundmenge der Struktur [mm] \mathcal{C} [/mm] ist. Nun frag ich mich aber warum (1)und (2) gilt. (3) sowie G [mm] \subseteq [/mm] B hab ich erfolgreich gezeigt.

Hallo,
Ich denke (2) passt, aber bei (1) bin ich unsicher was ich genau zeigen soll.

(2)
Sei f ein n stelliges Funktionssymbol aus der Sprache L
Sind [mm] c_i \in [/mm] G, d.h. [mm] c_i=t_i^{\mathcal{B}} [b_{i_1},..,b_{i_{n_i}}] [/mm] mit passenden [mm] t_i(x_{i_1},..,x_{i_{n_i}}) [/mm] so ist
[mm] f^{\mathcal{B}}c_1..c_n= ft_1...t_n ^{\mathcal{B}} [b_{11},..,b_{1n_1},..,b_{n1},..,b_{n n_{n}}] [/mm] nach Definition von Tarski und das ist in G da [mm] ft_1..t_n [/mm] ein L-Term ist.

(1)
Sei R ein r stelliges Relationssymbol.
Nach Definition der Interpretation der Relationszeichen von L in G [mm] :R^{\mathcal{C}} \subset G^n [/mm]
Seien [mm] c_i \in [/mm] G, d.h. [mm] c_i=t_i^{\mathcal{B}} [b_{i_1},..,b_{i_{n_i}}] [/mm] mit passenden [mm] t_i(x_{i_1},..,x_{i_{n_i}}) [/mm]

Seien [mm] (c_1,..,c_n) \in R^{\mathcal{B}} [/mm]
ZZ.: [mm] (c_1,..,c_n) \in R^{\mathcal{C}} [/mm]
[mm] (c_1,..,c_n) \in R^{\mathcal{B}} [/mm]  bedeutet nach Tarski [mm] \mathcal{B} \models Rt_1,..,t_n [b_{11},..,b_{1 n_1},..,b_{n 1},..,b_{n n_1}] [/mm]
Aber nun haben wir es ja hier nicht mit einem term sondern einer Formel zu tun und die sind in G nicht enthalten..?


        
Bezug
Substruktur/Unterstruktur: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 11:12 So 08.05.2016
Autor: hippias

Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)

Um zu zeigen, dass $G$ Grundmenge einer Substruktur von $\mathcal{B}$ ist, genügt es $G$ mit den richtigen Interpretationen der Symbole der Sprache auszustatten. Mit anderen Worten Du definierst $R^{\mathcal{C}}:= G^{n}\cap R^{\mathcal{B}$ und definierst $f^{\mathcal{C}}$ als Einschränkung von $f^{\mathcal{B}}$ auf $G^{n}$ usw. Da ist dann fast nichts mehr zu beweisen bis auf die Tatsache, dass die so definierten Funktionen wirklich in $G$ abbilden.

Bezug
                
Bezug
Substruktur/Unterstruktur: Frage (überfällig)
Status: (Frage) überfällig Status 
Datum: 17:31 So 15.05.2016
Autor: sissile

Hallo,
Sry, dass ich so spät antworte.
Aber genau dass mache ich doch?

$ [mm] R^{\mathcal{C}}:= G^{n}\cap R^{\mathcal{B}} [/mm] $
Sei [mm] c_i \in [/mm] G, d.h. [mm] c_i= t_i^{\mathcal{B}}[b_{i_1},..,b_{n_i}] [/mm] mit passenden [mm] t_i(x_{i1},..,x_{i n_i}) [/mm]
Ich habe im Post 1 gezeigt [mm] f^{\mathcal{B}} c_1..c_n \in [/mm] G also [mm] f^{\mathcal{C}}: G^r \rightarrow [/mm] G.

Und nun habe ich gefragt wie ich das beim Relationszeichen mache!
ZZ.: [mm] R^{\mathcal{C}} \subseteq G^r [/mm]
Weil wenn ich das auf Elemente von G einschränke ist das ja automatisch in [mm] G^r. [/mm] Ich wüsste nicht was da zuzeigen ist!
Gilt das nicht allgemein immer?

Bezug
                        
Bezug
Substruktur/Unterstruktur: Fälligkeit abgelaufen
Status: (Mitteilung) Reaktion unnötig Status 
Datum: 18:22 Di 17.05.2016
Autor: matux

$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
Bezug
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