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Summe Logarithmen in Brüchen: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:44 So 18.01.2015
Autor: sqe

Aufgabe
[mm] \bruch{log_2(log_2(n)) - 1}{log_2(log_2(n)) + log_2(n)} [/mm]


Hallo,

ich möchte Brüche so umformen, dass die gegebenen Logarithmen aus Zähler und/oder Nenner entfernt werden um das Grenzwertverhalten zu bestimmen.

Beispiel:

[mm] \bruch{log_2(log_2(n))}{\wurzel{log_2(log_2(n))log_2(n)}} [/mm] = [mm] \bruch{log_2(log_2(n))}{\wurzel{log_2(log_2(n))} \cdot \wurzel{log_2(n)}} [/mm] = [mm] \bruch{1}{\wurzel{log_2(log_2(n))}} \cdot \bruch{log_2(log_2(n)}{\wurzel{log_2(n)}} \to [/mm] 0 (für n [mm] \to \infty) [/mm]

Hier habe ich ein Produkt, mit dem ich schön umformen kann. Bei der angegebenen Aufgabenstellung komme ich aber leider überhaupt nicht weiter, da ich keinen Ansatz finde um die Summe / Differenz weiter umzuformen. Kann mir jemand bitte einen kleinen Hinweis geben?

Herzlichen Dank und viele Grüße


EDIT: Mir ist folgende Idee gekommen - was haltet Ihr davon?

Aufgrund der folgenden Rechenregel für Logarithmen: [mm] log_a(u) [/mm] + [mm] log_a(v) [/mm] = [mm] log_a(u \cdot [/mm] v) könnte man das Ganze doch so umformen:

[mm] \bruch{log_2(log_2(n)) - 1}{log_2(log_2(n)) + log_2(n)} [/mm] = [mm] \bruch{log_2(log_2(n)) - 1}{log_2(n \cdot log_2(n))} [/mm] = [mm] \bruch{log_2(log_2(n)) }{log_2(n \cdot log_2(n))} [/mm] - [mm] \bruch{1}{log_2(n \cdot log_2(n))} \to [/mm] 0 (für n [mm] \to \infty) [/mm]

[mm] \dots [/mm] was dann quasi " 0 - 0 " wäre. Stimmt das dann so?

Viele Grüße

        
Bezug
Summe Logarithmen in Brüchen: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:24 So 18.01.2015
Autor: DieAcht

Hallo sqe!


> Stimmt das dann so?

Solange beide einzelne Grenzwerte bekannt sind, stimmt das, denn
mit den Grenzwertsätzen folgt dann in der Tat $0-0=0$.


Gruß
DieAcht

Bezug
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