Summen von Quadraten II < Zahlentheorie < Algebra+Zahlentheo. < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:10 Di 16.01.2007 | | Autor: | Mikke |
Hallo habe noch eine weitere Menge die ich auf multiplikative Abgeschlossenheit. Insgesamt waren es vier.Bei zweien habe ich es selbst hinbekomme.Dort war eine multiklikativ abgeschlossen und eine nicht.Darum müsste jetzt wahrscheinlich noch eine abgeschlossene Menge kommen..
Wie kann ich also zeigen, dass auch die Menge {n : es gibt x,y [mm] \in \IZ [/mm] mit [mm] x^{3}+y^{3}=n} [/mm] multiplikativ abgeschlossen ist oder wenn nicht, ob ihr mir dann wiederum ein gegenbeispiel sagen könntet?
Dankeschön schon mal und mit freundlichem Gruß Mikke
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:34 Mi 17.01.2007 | | Autor: | felixf |
Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
Hallo Mikke!
> Hallo habe noch eine weitere Menge die ich auf
> multiplikative Abgeschlossenheit. Insgesamt waren es
> vier.Bei zweien habe ich es selbst hinbekomme.Dort war eine
> multiklikativ abgeschlossen und eine nicht.Darum müsste
> jetzt wahrscheinlich noch eine abgeschlossene Menge
> kommen..
>
> Wie kann ich also zeigen, dass auch die Menge {n : es gibt
> x,y [mm]\in \IZ[/mm] mit [mm]x^{3}+y^{3}=n}[/mm] multiplikativ abgeschlossen
> ist oder wenn nicht, ob ihr mir dann wiederum ein
> gegenbeispiel sagen könntet?
> Dankeschön schon mal und mit freundlichem Gruß Mikke
Also 2 ist ein Element in der Menge, weil $2 = [mm] 1^3 [/mm] + [mm] 1^3$. [/mm] Jedoch ist [mm] $2^2 [/mm] = 4$ nicht in der Menge:
wenn $4 = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3 [/mm] = [mm] (x^2 [/mm] - x y + [mm] y^2) [/mm] (x + y)$ ist, dann muss $x + y [mm] \in \{ \pm 1, \pm 2, \pm 4 \}$ [/mm] sein. Wenn man sich $4 = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3$ [/mm] modulo 4 anschaut, dann sieht man schnell, dass $x [mm] \equiv [/mm] y [mm] \pmod{2}$ [/mm] gelten muss. Damit gilt $x + y [mm] \neq \pm [/mm] 1$.
Es bleiben also die Moeglichkeiten $x + y = [mm] \pm [/mm] 2, [mm] \pm [/mm] 4$. Jede Moeglichkeit fuehrt durch Einsetzen in $4 = [mm] x^3 [/mm] + [mm] y^3$ [/mm] auf eine quadratische Gleichung, und man kann schnell nachpruefen, dass keine eine ganzzahlige Loesung hat.
Vielleicht geht das aber auch noch etwas eleganter :)
LG Felix
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