Summenformel II < Folgen und Reihen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 09:09 Mi 26.05.2010 | | Autor: | noprop |
Ich möchte mich erst einmal noch mal bei Stefan für die einleuchtende Ableitung der Summenformel aus dem Thread Summenformel bedanken. Da ging es um die Summenformel für die Reihe
[mm] \summe_{i=1}^{n} \bruch{(a+i)!}{i!} [/mm] = [mm] \bruch{(a+n+1)!}{(a+1)*n!}-a!
[/mm]
Nun bin ich mit den verschobenen Binomialkoeffizienten doch nicht ans Ziel gekommen, weil es in meiner vollständigen Aufgabenstellung noch ein Problem gibt, an dem ich wieder hängen geblieben bin. Die vollständige Reihe, für die ich eine Summenformel ableiten möchte, lautet:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \bruch{(a-i)!}{(a-1-3i)!*(2i+1)!}*2^{-(i+2)} [/mm] = ?
oder als Folge mit Binomialkoeffizienten dargestellt:
[mm] \vektor{a \\ 1}*2^{-2}+\vektor{a-1 \\ 3}*2^{-3}+\vektor{a-2 \\ 5}*2^{-4}+ [/mm] .. [mm] +\vektor{a-n \\ 2n+1}*2^{-(n+2)} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{a-i \\ 2i+1}*2^{-(i+2)} [/mm] = ?
Erst einmal muss wahrscheinlich der Zähler von der Form a-i in die Form b+i umgeformt werden, damit die Summenformel für verschobene Binomialkoeffizienten angewendet werden kann - wovon ich hier einmal ausgegangen bin -, weil diese Formel eine Fakultät einer Summe im Zähler voraussetzt.
Einfach im Zähler -1 ausklammern geht nicht, denn es ist ja ein Binomialkoeffizient mit einer Fakultät. Also habe ich b=a-n gesetzt und den aufsteigenden Index vom Ende zum Anfang laufen lassen, also von a-n+0=a-n bis a-n+n=a:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{a-i \\ 2i+1}*2^{-(i+2)} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{a-n+i \\ 2n-2i+1}*2^{-(n-i+2)} [/mm] = [mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{b+i \\ 2n-2i+1}*2^{-(n-i+2)}
[/mm]
Mit c=2n+1 habe ich noch einmal vereinfacht:
[mm] \summe_{i=0}^{n} \vektor{b+i \\ c-2i}*2^{-(n-i+2)}
[/mm]
Nun komme ich nicht mehr weiter. Vielleicht sind die verschobenen Binomialkoeffizienten bei diesem Problem auch gar nicht der richtige Ansatz.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 09:20 So 30.05.2010 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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