Summierbare Familie < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:26 Mi 22.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
| Aufgabe | | Eine Familie [mm] (A_i)_{i\in\ I} [/mm] heißt summierbar, wenn eine Zahl mit folgender Eigenschaft existiert: zu jedem [mm] \epsilon [/mm] > 0 gibt es eine endliche Indexmenge [mm] I_\epsilon \subset [/mm] I derart, daß für diese und alle J [mm] \subset [/mm] E(I) mit J [mm] \supset I_\epsilon \left| s - a_j \right| \le \epsilon [/mm] wobei E(i) die Menge der endlichen Teilmengen von I bezeichnet. |
Hallo Forenmitglieder,
warum ist hier die Bedingung [mm] \le \epsilon [/mm] festgelegt und nicht < [mm] \epsilon [/mm] wie bei der Konvergenz von Folgen in [mm] \IC? [/mm] Macht das irgend einen Beweis bequemer?
Danke schon mal.
Antonio
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:12 Mi 22.07.2009 | | Autor: | fred97 |
Ich versuchs mal am Beispiel der Konvergenz einer Folge [mm] (a_n) [/mm] mit dem Grenzwert a.
Beh.:
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für jedes n>N
[mm] \gdw
[/mm]
Zu jedem [mm] \varepsilon [/mm] > 0 ex. ein N [mm] \in \IN [/mm] mit [mm] $|a_n-a| \le \varepsilon$ [/mm] für jedes n>N
Beweis:
1. [mm] "\Rightarrow [/mm] ": Klar.
2. [mm] "\Leftarrow": [/mm] Sei [mm] \varepsilon [/mm] >0. Nach Vor. gibt es ein N [mm] \in \IN [/mm] mit:
[mm] $|a_n-a| \le \varepsilon/2$ [/mm] für jedes n>N.
Also gilt auch
[mm] $|a_n-a| [/mm] < [mm] \varepsilon$ [/mm] für jedes n>N
FRED
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 16:39 Mi 22.07.2009 | | Autor: | ANTONIO |
Hallo FRED,
das war ja das was ich gemeint habe. Ich hatte halt das Gefühl dass ich es sinnvoller, eleganter finde nur < zu benutzen und [mm] \le [/mm] nur wenn es zwingend erforderlich ist. Streng formal ist dann also beides hier richtig und ich könnte auch bei der Definition der summierbaren Familie < schreiben.
Danke und Grüße
Antonio
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 16:44 Mi 22.07.2009 | | Autor: | fred97 |
> Hallo FRED,
> das war ja das was ich gemeint habe. Ich hatte halt das
> Gefühl dass ich es sinnvoller, eleganter finde nur < zu
> benutzen und [mm]\le[/mm] nur wenn es zwingend erforderlich ist.
> Streng formal ist dann also beides hier richtig
> und ich
> könnte auch bei der Definition der summierbaren Familie <
> schreiben.
Ja
Auf Deine Frage:
"Macht das irgend einen Beweis bequemer? "
kann ich nur antworten: manchmal
FRED
> Danke und Grüße
> Antonio
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