Supermartingal Beweis < stoch. Prozesse < Stochastik < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 10:45 Fr 12.10.2012 | | Autor: | csch89 |
| Aufgabe | | Ist [mm] (X_t)_{t \in \IN_0} [/mm] ein Supermartingal und [mm] E(X_t) \ge E(X_0) [/mm] für ein T [mm] \in \IN_0, [/mm] dann ist [mm] (X_t)_{t \in \left{0,...,T \right}} [/mm] ein Martingal. Gibt es eine Folge [mm] T_N \to \infty [/mm] mit [mm] E(X_{T_N}) \ge E(X_0), [/mm] dann ist X ein Martingal. |
Also ich habe den Beweis zwar vor mir liegen, kann aber folgenden Schritt nicht so ganz nachvollziehen:
Für t [mm] \le [/mm] T setze [mm] Y_t:= E(X_T| \mathcal{F}_t). [/mm] Dann ist Y ein Martingal und [mm] Y_t \le X_t.
[/mm]
[mm] [\b] [/mm] Daher ist [mm] E(X_0) \le E(X_T) [/mm] = [mm] E(Y_T) [/mm] = [mm] E(Y_t) \le E(X_t) \le [/mm] E [mm] (X_0). [/mm] Es folgt [mm] Y_t=X_t [/mm] fast sicher für jedes t. [mm] [\b]
[/mm]
Warum gilt denn [mm] E(X_T)=E (Y_T) [/mm] = [mm] E(Y_t) \le E(X_t) [/mm] ?
Sehe ich da den Wald vor lauter Bäumen nicht?
Liebe Grüße
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
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Hiho,
> Warum gilt denn [mm]E(X_T)=E (Y_T)[/mm] = [mm]E(Y_t) \le E(X_t)[/mm] ?
Welches Gleichheitszeichen verstehst du denn nicht?
1.) nach Definition
2.) Erwartungswert einer bedingten Erwartung
3.) [mm] X_t [/mm] ist Supermartingal
MFG,
Gono.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 19:46 Fr 12.10.2012 | | Autor: | csch89 |
Ja das wars. Ich weiß auch nicht, warum ich selbst nicht drauf gekommen bin :) Vielen Dank!
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 11:22 Di 16.10.2012 | | Autor: | csch89 |
| Aufgabe | | Ist $ [mm] (X_t)_{t \in \IN_0} [/mm] $ ein Supermartingal und $ [mm] E(X_t) \ge E(X_0) [/mm] $ für ein T $ [mm] \in \IN_0, [/mm] $ dann ist $ [mm] (X_t)_{t \in \left{0,...,T \right}} [/mm] $ ein Martingal. Gibt es eine Folge $ [mm] T_N \to \infty [/mm] $ mit $ [mm] E(X_{T_N}) \ge E(X_0), [/mm] $ dann ist X ein Martingal. |
> Warum gilt denn [mm]E(X_T)=E (Y_T)[/mm] = [mm]E(Y_t) \le E(X_t) \le E(X_0) [/mm] ?
Also ich nach noch mal anschaun, ist mir das ganze doch noch nicht so ganz so klar, wie es mir sein sollte. Die Sache ist, dass das mein Seminarthema ist und ich dementsprechend mit bedingten Erwartungswerten noch nicht so ganz vertraut bin. Also zu
1.) Nach welcher Definition dnen? Ich habe doch nur, dass [mm] \E(X_T) \ge \E(X_0) [/mm] ist und dass [mm] Y_t \ge X_t [/mm] ist definiert.
2.) Wieso komme ich da auf den Erwartungswert für bedingte Erwartungen? Habe ich den nicht erst bei 3.), weil ich da für [mm] Y_t [/mm] dann [mm] \E(X_T|\mathcal{F}_t) [/mm] einsetze? Und müsste da dann nicht eigentich [mm] \E(X_T) [/mm] rauskommen?
3.) Ja siehe 2.) Warum ist das denn jetzt plötzlich [mm] \ge [/mm] ?
4.) Woher weiß ich, dass das dann wieder [mm] \ge E(X_0) [/mm] ist?
Wäre echt nett, wenn mir da jemand helfen könnte.
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Hiho,
1.) das erste Gleichheitszeichen kannst du auf zwei Arten beweisen:
i) Mit der Rechenregel für bedingte Erwartungen: [mm] $E\big[E[X|\mathcal{F}]\big] [/mm] = E[X]$
Nun wurde ja definiert: [mm] $Y_t [/mm] = [mm] E[X_T|\mathcal{F}_t]$ [/mm] und damit:
[mm] $E[Y_T] [/mm] = [mm] E\big[E[X_T|\mathcal{F}_T]\big] [/mm] = [mm] E[X_T]$
[/mm]
ii) Es gilt [mm] $E[X_T|\mathcal{F}_T] [/mm] = [mm] X_T$ [/mm] und damit offensichtlich
[mm] $E\big[E[X_T|\mathcal{F}_T]\big] [/mm] = [mm] E[X_T]$
[/mm]
2.) Das zweite Gleichheitszeichen ist einfach die Martingaleigenschaft, da [mm] Y_t [/mm] ein Martingal ist, gilt [mm] $E[Y_T] [/mm] = [mm] E[Y_t]$ [/mm] (auch mit obiger Rechenregel).
3.) Die [mm] \le [/mm] liegen einfach daran, dass [mm] X_t [/mm] ein Supermartingal ist, daher gilt ja:
[mm] $E[X_T|\mathcal{F}_t] \le X_t$, [/mm] wende nun auf beiden Seiten den Erwartungswert an und verwende obige Rechenregel.
MFG,
Gono.
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