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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:25 So 01.06.2008 | | Autor: | Ninjoo |
| Aufgabe | Sei (X,d) vollständiger, nicht-leerer, beschränkter metrischer Raum und
f: X-> X eine kontrahiierende Abbildung. Betrachte die rekursiv definierte Mengenfolge
X(0)=X , X(k+1) = f(X(k)) , [mm] k\in \IN
[/mm]
Zeige, dass der Durchschnitt dieser Mengenfolge aus genau einem Punkt besteht und gib dabei eine Abschätzung für den Durchmesser von X(k) an. |
Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
Hallo :)
Vorab eine Erklärungen,
das X beschränkt ist, heißt diam(X)= sup{ d(x,y) | [mm] x,y\in [/mm] X} < unendlich.
Ich konnte zeigen, das [mm] \forall [/mm] n [mm] \in \IN [/mm] gilt:
[mm] diam(f^{n+1}(X)) [/mm] < diam [mm] (f^n(X))
[/mm]
also, dass diam(X(n+1)) < diam(X(n))
da d eine Metrik ist, gilt ja d( . , . ) >= 0.
Folgt also daraus schon
[mm] \bigcap_{n \in \IN}^{} [/mm] X(n) =: A, dass diam(A) = 0 ?
Wenn ja, wie kann man das begründen? Intuitiv würde ich sofort sagen diam(A) = 0.. Denn dann ist klar, das wegen dem Banach... Fixpunktsatz der Durchschnitt nur ein Element enthält.
Und was meinen die mit einer Abschätzung?
reicht als abschätzung z.B. diam(X(k)) < diam(X(k-1)) ?
gruss Ninjoo
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> Sei (X,d) vollständiger, nicht-leerer, beschränkter
> metrischer Raum und
> f: X-> X eine kontrahiierende Abbildung. Betrachte die
> rekursiv definierte Mengenfolge
>
> X(0)=X , X(k+1) = f(X(k)) , [mm]k\in \IN[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
>
> Zeige, dass der Durchschnitt dieser Mengenfolge aus genau
> einem Punkt besteht und gib dabei eine Abschätzung für den
> Durchmesser von X(k) an.
> Ich habe diese Frage in keinem anderem Forum gestellt.
>
> Hallo :)
>
> Vorab eine Erklärungen,
>
> das X beschränkt ist, heißt diam(X)= sup$\{$ d(x,y) | [mm]x,y\in[/mm]Eingabefehler: "{" und "}" müssen immer paarweise auftreten, es wurde aber ein Teil ohne Entsprechung gefunden (siehe rote Markierung)
X $\}$ < unendlich.
>
> Ich konnte zeigen, das [mm]\forall[/mm] n [mm]\in \IN[/mm] gilt:
>
> [mm]diam(f^{n+1}(X))[/mm] < diam [mm](f^n(X))[/mm]
>
> also, dass diam(X(n+1)) < diam(X(n))
Vermutlich hast Du dabei auch gezeigt, dass [mm] $X(n+1)\subseteq [/mm] X(n)$ gilt, für alle [mm] $n\in \IN$.
[/mm]
>
> da d eine Metrik ist, gilt ja d( . , . ) >= 0.
>
> Folgt also daraus schon
>
> [mm]\bigcap_{n \in \IN}^{}[/mm] X(n) =: A, dass diam(A) = 0 ?
>
> Wenn ja, wie kann man das begründen? Intuitiv würde ich
> sofort sagen diam(A) = 0.
Siehe Abschätzung unten: [mm] $\mathrm{diam}(X(n))\leq q^n\cdot\mathrm{diam}(X)\rightarrow [/mm] 0$, für [mm] $n\rightarrow\infty$
[/mm]
> Denn dann ist klar, das wegen
> dem Banach... Fixpunktsatz der Durchschnitt nur ein Element
> enthält.
Wir sind uns einig, dass die Durchmesser dieser inklusionsmonoton fallenden Mengenfolge gegen $0$ konvergieren, aber warum ist der Durchschnitt [mm] $\bigcap_{n\in \IN} [/mm] X(n)$ nicht leer? - Dies müsste man wohl auch noch begründen.
> Und was meinen die mit einer Abschätzung?
> reicht als abschätzung z.B. diam(X(k)) < diam(X(k-1)) ?
Wenn die Abbildung kontrahierend ist, dann gibt es ein $q$ mit $q<1$, so dass [mm] $\mathrm{diam}(X(k+1))\leq q\cdot \mathrm{diam}(X(k))$. [/mm] Durch wiederholte Anwendung dieser Beziehung erhält man jedenfalls [mm] $\mathrm{diam}(X(k))\leq q^k\cdot\mathrm{diam}(X)$.
[/mm]
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