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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 13:14 Di 07.02.2012 | | Autor: | qetu |
| Aufgabe | Seien A, B nach oben beschränkte Mengen positiver reeler Zahlen.
Zeigen Sie: Ist $inf(B)>0$ und [mm] $\bruch{A}{B}=\{\bruch{a}{b} | a \in A, b \in B\}$, [/mm] so ist [mm] $sup(\bruch{A}{B})=\bruch{ sup(A) }{ inf(B) }$ [/mm] |
Hallo,
ich komme hier nicht weiter.
Was ich bisher habe:
Sei sup(A)=s, inf(B)=i, so gilt:
[mm] $\bruch{s}{i} \ge \bruch{a}{i} \ge \bruch{a}{b}$ [/mm] (für alle $a [mm] \in [/mm] A$, $b [mm] \in [/mm] B$)
Also ist [mm] $\bruch{s}{i}$ [/mm] obere Schranke. Bleibt zu zeigen, dass [mm] $\bruch{s}{i}$ [/mm] kleinste obere Schranke ist.
Angenommen nicht, dann existiert ein d mit:
[mm] $\bruch{s}{i} [/mm] > d [mm] \ge \bruch{a}{b}$ [/mm] (für alle $a [mm] \in [/mm] A$, $b [mm] \in [/mm] B$)
$ [mm] \gdw [/mm] s > d*i [mm] \ge \bruch{a}{b} [/mm] * i$
Da sollte nun ein Widerspruch entstehen, dass dann s nicht das Supremum von A sein kann. Jedoch komme ich nicht zu meinem gewünschten Widerspruch, denn [mm] $\bruch{a}{b} [/mm] * i$ ist zwar > a. da [mm] $\bruch{i}{b} [/mm] < 1$, aber ich weiß ja nicht, ob $d*i > a$. Demzufolge komme ich nicht auf meinen gewünschten Widerspruch :-(. Könnt ihr mir helfen?
Gruß
qetu
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Hiho,
danke an shadowmaster für den Vortritt 
> Also ist [mm]\bruch{s}{i}[/mm] obere Schranke. Bleibt zu zeigen,
> dass [mm]\bruch{s}{i}[/mm] kleinste obere Schranke ist.
Genau.
> Angenommen nicht, dann existiert ein d mit:
Warum denn per Widerspruchsbeweis? Zeige es doch direkt, dass sobald du ein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ abziehst, du ein Element der Menge findest, was größer ist. Tipp dazu:
[mm] $\bruch{s}{i} [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] = [mm] $\bruch{s - \varepsilon*i}{i} [/mm] = [mm] \bruch{s - \overline{\varepsilon}}{i}$
[/mm]
Nun gibt es aber ein $x [mm] \in [/mm] A$ mit $x > s - [mm] \overline{\varepsilon}$ [/mm] (warum?) und damit.... den Rest versuch mal allein. Du solltest die Schritte auch noch ein bisschen mehr begründen. 
MFG,
Gono.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 19:12 Di 07.02.2012 | | Autor: | qetu |
Hallo,
> Nun gibt es aber ein [mm]x \in A[/mm] mit [mm]x > s - \overline{\varepsilon}[/mm]
> (warum?) und damit.... den Rest versuch mal allein.
Das $x [mm] \in [/mm] A$ muss existieren, weil s Supremum von A ist. Also ist s kleiner als alle anderen Schranken s' von A. Wenn kein $x [mm] \in [/mm] A$ existieren würde, dann wäre s nicht Supremum von A. (Schwamming formuliert: Was ich meine ist, dass zwischen s und die Menge A keine Zahl mehr reinpasst. Wenn ich also mein s um Epsilon veringere, muss es einen Wert aus der Menge A geben, der größer als s-Epsilon ist.)
Also kann [mm] $\bruch{i}{s} [/mm] - [mm] \varepsilon \ge \bruch{a}{b} \quad \forall [/mm] a [mm] \in [/mm] A, b [mm] \in [/mm] B$ nur dann gelten, wenn [mm] $\varepsilon=0$. [/mm] Da kein [mm] $\varepsilon [/mm] > 0$ existiert, sodass [mm] $\bruch{i}{s} [/mm] - [mm] \varepsilon \ge \bruch{a}{b}$, [/mm] ist [mm] $\bruch{i}{s}$ [/mm] die kleinste untere Schranke und damit das Supremum von [mm] $\bruch{A}{B}$.
[/mm]
Ist die Begründung OK?
Gruß
qetu
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:03 Di 07.02.2012 | | Autor: | Marcel |
Hallo,
> Hallo,
>
> > Nun gibt es aber ein [mm]x \in A[/mm] mit [mm]x > s - \overline{\varepsilon}[/mm]
> > (warum?) und damit.... den Rest versuch mal allein.
>
> Das [mm]x \in A[/mm] muss existieren, weil s Supremum von A ist.
> Also ist s kleiner als alle anderen Schranken s' von A.
> Wenn kein [mm]x \in A[/mm] existieren würde, dann wäre s nicht
> Supremum von A. (Schwamming formuliert: Was ich meine ist,
> dass zwischen s und die Menge A keine Zahl mehr reinpasst.
> Wenn ich also mein s um Epsilon veringere, muss es einen
> Wert aus der Menge A geben, der größer als s-Epsilon
> ist.)
eigentlich ist das okay, was Du sagst (ich habe es nur kurz überflogen). Das ist die Standardbegründung, Du formulierst sie anscheinend nur ungeschickt: Was Du eigentlich sagen willst, ist, wenn dem nicht so wäre, so gäbe es eine kleinere obere Schranke (oben wäre das etwa [mm] $s-\overline{\varepsilon}$) [/mm] für die betrachtete Menge, was der Definition des Supremums (der betrachteten Menge) widerspricht.
Gruß,
Marcel
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Hiho,
> Das [mm]x \in A[/mm] muss existieren, weil s Supremum von A ist.
![[ok]](/images/smileys/ok.gif "[ok]")
> Also ist s kleiner als alle anderen Schranken s' von A.
Das ist ein Teil der Definition des Supremums, ja.
> Wenn kein [mm]x \in A[/mm] existieren würde, dann wäre s nicht
> Supremum von A. (Schwamming formuliert: Was ich meine ist,
> dass zwischen s und die Menge A keine Zahl mehr reinpasst.
> Wenn ich also mein s um Epsilon veringere, muss es einen
> Wert aus der Menge A geben, der größer als s-Epsilon
> ist.)
Warum hier wieder über die Negation.
Du hattest doch bereits gesagt:
> Das [mm]x \in A[/mm] muss existieren, weil s Supremum von A ist.
Das folgt doch direkt aus der Definition des Supremums (Definitionen lernen!).
Dort steht doch direkt drin
[mm] $\forall\; \varepsilon>0\;\exists\,x\in A:\quad [/mm] x > [mm] \sup(A) [/mm] - [mm] \varepsilon$
[/mm]
Da muss nix mehr begründet werden. Das ist eine Definition.
> Ist die Begründung OK?
Gib doch mal ein Element [mm] $\bruch{x}{y} \in \bruch{A}{B}$ [/mm] direkt an, so dass [mm] $\bruch{x}{y} [/mm] > [mm] \bruch{s}{i} [/mm] - [mm] \varepsilon [/mm] $
Du hast ja bisher nur dein $x [mm] \in [/mm] A$ konstruiert, so dass
[mm] $\bruch{x}{i} [/mm] > [mm] \bruch{s}{i} [/mm] - [mm] \varepsilon$.
[/mm]
Problem ist jetzt ja noch, dass [mm] $\bruch{x}{i}$ [/mm] nicht notwendigerweise in [mm] \bruch{A}{B} [/mm] liegt (Warum nicht?).
Also brauchts noch einen Schritt.
MFG,
Gono.
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