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Hallo,
ich soll folgende Aufgabe rechnen, habe aber absolut keinen Ansatz oder Idee. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen:
Sei f:[0,1] -> IR, x-> x,
[mm] \gamma [/mm] n(x)= j/n für x [mm] \in [/mm] [(j-1)/n, j/n[, j=1,...,n
=1 für x=1
Zeige: [mm] ||\gamma [/mm] - f|| [mm] \infty [/mm] ->0 und [mm] \limes_{n\rightarrow\infty} \integral_{0}^{1} [/mm] { [mm] \gamma [/mm] n} = 1/2.
Geben Sie eine geometrische Interpretation an.
(Sorry dass die Darstellung so umständlich ist)
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 11:09 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Paulus |
Hallo Franziska
![[willkommenmr]](/images/smileys/willkommenmr.png "[willkommenmr]")
> ich soll folgende Aufgabe rechnen, habe aber absolut keinen
> Ansatz oder Idee. Ich hoffe, ihr könnt mir helfen:
>
> Sei [mm]f:[0,1] \to \mathbb{R}, x \to x[/mm],
>
> [mm]\gamma_{n}(x)= j/n[/mm] für [mm]x\in [(j-1)/n, j/n], j=1,...,n[/mm]
> und [mm]1[/mm] für [mm]x=1[/mm]
>
> Zeige: [mm]||\gamma_{\infty} - f|| \to 0 [/mm] und
> [mm]\limes_{n \to\infty} \integral_{0}^{1} {\gamma_{n}\,dx} [/mm]
> [mm] = \bruch{1}{2}[/mm]
>
> Geben Sie eine geometrische Interpretation an.
Hoffentlich sind meine "Korrekturen" in den Funktionen nicht allzu falsch. 
Ich vermute einmal, dass du dir unter den gegebenen Dingen nichts vorstellen kannst. Deshalb gebe ich dir dazu einfach mal einige Hinweise:
Das ganze spielt sich nur auf dem Intervall $[0,1]$ ab.
Du kannst also vielleicht eine $x$-Achse Zeichnen und die Einheit darauf recht gross wählen (vielleicht etwa 5cm).
Und da gibt es also 2 Funktionen: Die erste heisst $f$ und ist definiert als $x [mm] \to [/mm] x$, was nichts Anderes heisst als: $f(x)=x$ oder, wenn du es lieber mit $x$ und $y$ hast: $y=x$
Der Graph davon ist also einfach die Strecke von $(0,0)$ bis $(1,1)$.
Und jetzt noch die Funktion [mm] $\gamma_{n}$:
[/mm]
Das solltest du einmal für ein gegebenes $n$, zum Beispiel $n=5$ analysieren. Dann erkennst du, dass [mm] $\gamma_5$ [/mm] eine Treppe ist, die von $(0,0)$ bis nach $(1,1)$ führt. Dabei ist die Stufenhöhe und -Breite gerade [mm] $\bruch{1}{5}$ [/mm] (allgemein: [mm] $\bruch{1}{n}$). [/mm] Die Treppe liegt also, bildlich ausgedrückt, auf dem Graphen der Funktion $f$. Je grösser das $n$ gewählt wird, desto feiner wird die Treppen-Zickzack-Linie, und die Fläche zwischen [mm] $\gamma_{n}$ [/mm] und $f$ wird offensichtlich mit steigendem $n$ immer kleiner, und strebt mit $n [mm] \to \infty$ [/mm] augenscheinlich gegen $0$. Das solltest du aber formal zeigen.
Ich weiss nicht, welches jetzt gerade euer Vorlesungsthema ist um einen vernünftigen Tipp zu geben. Vielleicht die Riemann-Summen? 
Ich hoffe, dass du dir jetzt etwas besser vorstellen kannst, was man denn jetzt schon wieder von dir will
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 13:32 Fr 02.07.2004 | | Autor: | Franziska_ |
Hallo,
vielen Dank, das macht es schon deutlicher.
Also, das Thema ist die Differentation und Integration an sich.
Im speziellen haben wir zuletzt die SupremumsNorm behandelt. Die Riemann-Summen sagen mir jetzt nichts.
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