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System von DGL AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 15:55 Di 08.05.2012
Autor: bammbamm

Aufgabe
[mm] \bruch{d \overrightarrow{y}(x)}{dx}=\overrightarrow{f}(x,\overrightarrow{y}(x))=\mathcal{A} [/mm] * [mm] \overrightarrow{y}, [/mm]

[mm] \mathcal{A}=\pmat{ 3 & -\bruch{1}{4} \\ 9 & -2 } [/mm]
[mm] \overrightarrow{y}=\vektor{y_1 \\ y_2} [/mm]
[mm] \overrightarrow{y(x=0)}=y_0=\vektor{6 \\ -4} [/mm]

Ich soll obiges System von DGLs als Anfangswertproblem lösen. Eine normale DGL bereitet mir ja nicht so das Problem, allerdings habe ich noch nie ein System davon gelöst und wollte nachfragen wie man an die Sache rangeht ?

Ich wäre es jetzt so angegangen beide Gleichungen getrennt aufzulösen, integrieren und somit die Lösungen für beide erhalten mit [mm] y_0=6 [/mm] für die erste und [mm] y_0=-4 [/mm] für die zweite Gleichung. Geht man das überhaupt so an ?

        
Bezug
System von DGL AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:09 Di 08.05.2012
Autor: MathePower

Hallo bammbamm,

> [mm]\bruch{d \overrightarrow{y}(x)}{dx}=\overrightarrow{f}(x,\overrightarrow{y}(x))=\mathcal{A}[/mm]
> * [mm]\overrightarrow{y},[/mm]
>  
> [mm]\mathcal{A}=\pmat{ 3 & -\bruch{1}{4} \\ 9 & -2 }[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{y}=\vektor{y_1 \\ y_2}[/mm]
>  
> [mm]\overrightarrow{y(x=0)}=y_0=\vektor{6 \\ -4}[/mm]
>  Ich soll
> obiges System von DGLs als Anfangswertproblem lösen. Eine
> normale DGL bereitet mir ja nicht so das Problem,
> allerdings habe ich noch nie ein System davon gelöst und
> wollte nachfragen wie man an die Sache rangeht ?
>  


Der eine Weg ist der, dieses DGL-System
auf eine DGL zweiter Ordnung zurückzuführen.


> Ich wäre es jetzt so angegangen beide Gleichungen getrennt
> aufzulösen, integrieren und somit die Lösungen für beide
> erhalten mit [mm]y_0=6[/mm] für die erste und [mm]y_0=-4[/mm] für die
> zweite Gleichung. Geht man das überhaupt so an ?


Der andere Weg führt über die Bestimmung der Eigenwerte und
Eigenvektoren der Matrix A. Daraus ergeben sich,
sofern die Matrix  A keine doppelten Eigenwerte besitzt,
die Lösungen des DGL-Systems.


Gruss
MathePower


Bezug
                
Bezug
System von DGL AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 16:15 Di 08.05.2012
Autor: bammbamm

Welcher dieser Wege wäre für mein momentanes Problem der elegantere ?

Die Eigenwerte von [mm] \mathcal{A} [/mm] wären [mm] \vektor{\bruch{5}{2} \\ -\bruch{3}{2}} [/mm]

Inwiefern bringt mich das nun zu meiner Lösung des DGL ?

Bezug
                        
Bezug
System von DGL AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 16:20 Di 08.05.2012
Autor: MathePower

Hallo bammbamm,

> Welcher dieser Wege wäre für mein momentanes Problem der
> elegantere ?
>  


Der übliche Weg ist Weg, der über die Eigenwerte geht.


> Die Eigenwerte von [mm]\mathcal{A}[/mm] wären [mm]\vektor{\bruch{5}{2} \\ -\bruch{3}{2}}[/mm]
>  
> Inwiefern bringt mich das nun zu meiner Lösung des DGL ?


Bestimme nun zu den jeweiligen Eigenwerten die Eigenvektoren.


Gruss
MathePower

Bezug
                                
Bezug
System von DGL AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:15 Di 08.05.2012
Autor: bammbamm


> Bestimme nun zu den jeweiligen Eigenwerten die
> Eigenvektoren.
>  
>
> Gruss
>  MathePower

Ja, meine Eigenvektoren sind
[mm] \vec{v_1}=\alpha*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1} [/mm]
und
[mm] \vec{v_2}=\alpha*\vektor{\bruch{1}{18} \\ 1} [/mm]

Wie gehe ich weiter vor ?

Bezug
                                        
Bezug
System von DGL AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:28 Di 08.05.2012
Autor: MathePower

Hallo bammbamm,

> > Bestimme nun zu den jeweiligen Eigenwerten die
> > Eigenvektoren.
>  >  
> >
> > Gruss
>  >  MathePower
>
> Ja, meine Eigenvektoren sind
>  [mm]\vec{v_1}=\alpha*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1}[/mm]
>  und
>  [mm]\vec{v_2}=\alpha*\vektor{\bruch{1}{18} \\ 1}[/mm]
>  
> Wie gehe ich weiter vor ?


Damit ergibt sich die Lösung zu:

[mm]y\left(t\right)=c_{1}*\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1}*e^{5/2*t}+c_{2}*\vektor{\bruch{1}{18} \\ 1}*e^{-3/2*t}[/mm]

Die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] sind nun durch
Einsetzen der Anfangsbedingung zu ermitteln.


Gruss
MathePower


Bezug
                                                
Bezug
System von DGL AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:35 Di 08.05.2012
Autor: bammbamm

Also wäre die Lösung

[mm] \vec{y}(x)=\vektor{3 \\ 6}*e^{\bruch{5}{2}*x}-\vektor{\bruch{2}{9} \\ 4}*e^{\bruch{3}{2}*x} [/mm] ?

Bezug
                                                        
Bezug
System von DGL AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 17:43 Di 08.05.2012
Autor: MathePower

Hallo bammbamm,

> Also wäre die Lösung
>  
> [mm]\vec{y}(x)=\vektor{3 \\ 6}*e^{\bruch{5}{2}*x}-\vektor{\bruch{2}{9} \\ 4}*e^{\bruch{3}{2}*x}[/mm]
> ?


Nein.

Es muss doch gelten:

[mm] y\left(0\right)=\pmat{6 \\ -4}=c_{1}\cdot{}\vektor{\bruch{1}{2} \\ 1}\cdot{}e^{5/2\cdot{}0}+c_{2}\cdot{}\vektor{\bruch{1}{18} \\ 1}\cdot{}e^{-3/2\cdot{}0} [/mm]

Daraus sind nun die Konstanten [mm]c_{1}, \ c_{2}[/mm] zu ermitteln.


Gruss
MathePower

Bezug
                                                                
Bezug
System von DGL AWP: Frage (beantwortet)
Status: (Frage) beantwortet Status 
Datum: 17:51 Di 08.05.2012
Autor: bammbamm

Also dann

$ [mm] \vec{y}(x)=\vektor{7 \\ 14}\cdot{}e^{\bruch{5}{2}\cdot{}x}-\vektor{1 \\ 18}\cdot{}e^{-\bruch{3}{2}\cdot{}x} [/mm] $

Wo kommen aber die Eulerschen Zahlen her ?

Wenn ich das Probeweise mal mit nem CAS ableite, kommt nicht das raus was ich eigentlich dachte. Da müsste ja [mm] A*\vec{y} [/mm] rauskommen ?

Bezug
                                                                        
Bezug
System von DGL AWP: Antwort
Status: (Antwort) fertig Status 
Datum: 18:12 Di 08.05.2012
Autor: MathePower

Hallo bammbamm,

> Also dann
>  
> [mm]\vec{y}(x)=\vektor{7 \\ 14}\cdot{}e^{\bruch{5}{2}\cdot{}x}-\vektor{1 \\ 18}\cdot{}e^{-\bruch{3}{2}\cdot{}x}[/mm]
>  


[ok]


> Wo kommen aber die Eulerschen Zahlen her ?
>


Für die Lösung einer DGL mit konstanten Koeffizienten
macht man den Ansatz [mm]y=e^{\lambda*x}[/mm]


> Wenn ich das Probeweise mal mit nem CAS ableite, kommt
> nicht das raus was ich eigentlich dachte. Da müsste ja
> [mm]A*\vec{y}[/mm] rauskommen ?


Du kannst die Lösung in das DGL-System einsetzen,
um zu verifizieren, dass diese stimmt.


Gruss
MathePower

Bezug
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