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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 19:07 Di 11.11.2008 | | Autor: | Miss.Joy |
| Aufgabe | Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt.
Ich habe die Funktion f(x)=e^(0,5x)
Von P(0,0) aus wird die Tangente an den Graphen von f angelegt. Bestimmen sie den Berührungspunkt und die Tangentengleichung. |
Mir fällt hier einfach kein Ansatz ein, deshalb wäre ich über Hilfe sehr dankbar.
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Danke für den Hinweis, die Frage hab ich gar nicht gesehen.
Du hast die Funktion $ [mm] f(x)=e^{\bruch{1}{2}x} [/mm] $
sowie eine Gerade durch den Nullpunkt, $ g(x)=ax
Die beiden berühren sich irgendwo am Punkt (c,d).
Dieser Satz beinhaltet gleich zwei Informationen:
1) Der Punkt liegt auf beiden Kurven, also f(c)=g(c)=d
2) An diesem Punkt haben beide die gleiche Steigung - sonst würden sie sich nicht berühren, sondern schneiden; also $ f'(c)=g'(c) $
Das müsste Dir schon weiterhelfen, eine Lösung zu finden.
Übrigens gibt es noch eine dritte Information, die Du aber hier nicht brauchst: im strengen Sinn würde man nur dann von Berührung sprechen, wenn in einem beliebig kleinen Bereich [mm] c-\varepsilon
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 21:19 Di 11.11.2008 | | Autor: | Miss.Joy |
Ahhh, ja also der Anstatz ist genau der den ich gesucht habe, nur muss ich zugeben dass ich trotzdem nicht weiterkomme.
Denn wenn ich f'(x) und g'(x) gleich setzte, komme ich auf [mm] 0,5\varepsilon^{0.5x}= [/mm] m, dass hieße ja das der Anstieg, am gemeinsammen Punkt, [mm] 0,5\varepsilon^{0.5x} [/mm] ist?
Danke aber schonmal, lg Joy
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Genau!
(aber bleib bei e, nicht [mm] \varepsilon, [/mm] das war nur eine neue Variable für eine kleine Umgebung um den Berührungspunkt)
Du hast aus $ f'(x)=g'(x) $ die erste von zwei Beziehungen gewonnen (und hast die übliche Bezeichnung m für die Steigung gewählt, also g(x)=mx ):
(I) [mm] m=\bruch{1}{2}e^{\bruch{1}{2}x}
[/mm]
Die zweite Beziehung ergibt sich aus $ f(x)=g(x) $:
(II) [mm] mx=e^{\bruch{1}{2}x}
[/mm]
Wenn Du jetzt (I) in (II) einsetzt, findest Du ganz leicht den Wert für x. Dazu musst Du nur sicher sein, dass die Funktion [mm] e^x [/mm] nie Null wird, und damit [mm] e^{\bruch{1}{2}x} [/mm] auch nicht.
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