Tangentengleichung < Exp- und Log-Fktn < Analysis < Oberstufe < Schule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 14:12 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Krummel |
| Aufgabe | Die Tangente g geht durcht den Punkt P(0|2) und berüht den Graphen mit der Gleichung f(x)= 2-e^-x.
Gesucht ist der Berührungspunkt sowie die Tangentengleichung. |
Als Ergebnisse habe ich g(x)= ex+2 und den Berührungspunkt B (-1|2-e)
Mein Lösungsweg:
Tangentengleichung
g(x)=mx+n
Punktsteigungsform:
g(xb)=m(xb-x0)+y0
m ist die erste Ableitung von xb in f
also m=f'(xb)=e^-x
x0=0
y0=2
dann gleichsetzen von g(x) und f(x)
e^-x(xb-0)+2=-e^-x+2 |-2 |: e^-x
xb=-1
xb in f(x)
[mm] f(xb)=2-e^1=2-e
[/mm]
Berührpunkt B (-1|2-e)
Nun ist die Sache das wir es über die Punktsteigungsform lösen sollten und ich kein Ahnung habe wie.
Ich habe diese Frage in keinem Forum auf anderen Internetseiten gestellt
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Ich verstehe deine Frage leider nicht. Die Punktsteigungsform einer Geraden braucht genau was der Name sagt: Einen Punkt und eine Steigung. Du hast einen Punkt gegeben, durch den die Tangente geht und ihre Steigung hast du aus der Ableitung von f korrekt berechnet. Jetzt brauchst du doch nur einsetzten? Also bitte konkretisiere deine Frage ;)
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 14:34 Mi 05.12.2012 | | Autor: | Krummel |
Als Ansatz hat man uns gesagt das wir nach xb umstellen sollten. Aber wenn ich nach xb in der Punktsteigungform umstelle habe ich mehr als eine Variable übrig.
Bzw. wir sollten doch bitte einen anderen Weg finden um auf die Lösung zu kommen.
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Weil deine Punktsteigungsform falsch ist ;)
Für einen Punkt $P(u|v)$ gilt die Punktsteigungsform einer Geraden durch diesen Punkt:
$ [mm] f(x_p)=m*(x-u)+v$.
[/mm]
Das heißt, du ziehst von x den x-Wert des Punktes ab und addierst am Ende den y-Wert des Punktes. Bei dir ist $u=0$ und $v=2$. Mit der Ableitung [mm] $f'(x)=e^{-x}$ [/mm] steht außerdem die Steigung fest, auch wenn wir ihren Betrag noch nicht kennen.
Abschließend müssen wir nur noch Gleichsetzten, um den Berührpunkt zu ermitteln:
$f(x)=t(x) [mm] \Rightarrow 2-e^{-x}=e^{-x}+2 \Rightarrow -e^{-x}=e^{-x}*x$
[/mm]
Wir dürfen durch [mm] $e^{-x}$ [/mm] dividieren, da dies niemals 0 wird:
$x=-1$. Dies ist der gesuchte Berührpunkt. Damit ergibt sich aber auch die Steigung der Tangenten zu:
[mm] $m=e^{-(-1)}=e$
[/mm]
Und die gesuchte Tangentengleichung lautet:
$t(x)=e*x+2$
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