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| Aufgabe | Ein kugelförmiger Wasserbehälter mit dem Radius r=2 soll durch gegenüberliegende, tangential (am Querschnitt) angebrachte Halteseile von den Punkten A(5/-10) und B(-5/-10) aus abgesichert werden. Der Koordinatenursprung liegt im Mittelpunkt des Wasserbehälters. (1 Einheit=1 Meer).
In welchen Punkten P und Q müssen die Halterungen am Wasserbehälter angebracht sein? Wie lang sind die Sicherungsseile? |
Hallo.
Ich bin mit der Rechnung fast fertig, jedoch glaube ich, dass ich mich verrechnet habe, da am Ende ganz viele ungerade Zahlen rauskommen. Deshalb im folgenden einmal meine Rechnung:
Dabei sind P1 und P2 die gesuchten Punkte, die auf dem Kreis liegen.
I. Bedingung:
[mm] \overrightarrow{MP1} [/mm] muss senkrecht zu [mm] \overrightarrow{AP1} [/mm] stehen, also:
[mm] \overrightarrow{P1M}*\overrightarrow{AP1}=0
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P1M}= \vektor{0 \\ 0}-\vektor{x \\ y}=\vektor{-x \\ -y}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P1A}= \vektor{5 \\ -10}-\vektor{x \\ y}= \vektor{5-x \\ -10-y}
[/mm]
Die erste Gleichung lautet also:
[mm] \vektor{-x \\ -y}* \vektor{5-x \\ -10-y}=0
[/mm]
<=> ((-x)*(5-x))+((-y)*((-10-y))=0
<=> [mm] -5x+x^2+10y+y^2=0
[/mm]
II. Bedingung:
P1 [mm] \varepsilon [/mm] k
[mm] \vmat{ \overrightarrow{MP1}}^{2}=r^{2}
[/mm]
Also lautet die Gleichung:
[mm] (0-x)^{2}+(0-y)^{2}=4
[/mm]
<=> [mm] x^{2}+y^{2}=4
[/mm]
<=> [mm] x^{2}+y^{2}-4=0
[/mm]
Dann habe ich die erste und die zweite Gleichung gleichgesetzt:
[mm] -5x+x^{2}+10y+y^{2}=x^{2}+y^{2}-4
[/mm]
<=> -5x+10y+4=0
<=> 10y=-4+5x
<=> y= [mm] -\bruch{2}{5}+\bruch{1}{2}x
[/mm]
Das habe ich dann in die zweite Gleichung eingesetzt:
[mm] x^{2}+((-\bruch{2}{5}+\bruch{1}{2}x)^2 [/mm] -4 =0
<=> [mm] x^{2}+\bruch{4}{25}-\bruch{2}{5}x+\bruch{1}{4}x^2 [/mm] -4 =0
<=> [mm] \bruch{5}{4}x^{2}-\bruch{2}{5}x-\bruch{96}{25}=0
[/mm]
<=> [mm] x^{2}-\bruch{8}{25}x-\bruch{384}{125}=0
[/mm]
An dieser Stelle bin ich. Ich habe das ganze auch in die PQ-Formel eingesetzt, aber ich kann mir nicht vorstellen, dass das richtig ist.
Kann mir jemand helfen und mir sagen, wo mein Fehler liegt???
Vielen DANK!
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| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 18:58 Di 13.05.2014 | | Autor: | abakus |
> Ein kugelförmiger Wasserbehälter mit dem Radius r=2 soll
> durch gegenüberliegende, tangential (am Querschnitt)
> angebrachte Halteseile von den Punkten A(5/-10) und
> B(-5/-10) aus abgesichert werden. Der Koordinatenursprung
> liegt im Mittelpunkt des Wasserbehälters. (1 Einheit=1
> Meer).
> In welchen Punkten P und Q müssen die Halterungen am
> Wasserbehälter angebracht sein? Wie lang sind die
> Sicherungsseile?
> Hallo.
>
> Ich bin mit der Rechnung fast fertig, jedoch glaube ich,
> dass ich mich verrechnet habe, da am Ende ganz viele
> ungerade Zahlen rauskommen. Deshalb im folgenden einmal
> meine Rechnung:
>
>
> Dabei sind P1 und P2 die gesuchten Punkte, die auf dem
> Kreis liegen.
> I. Bedingung:
> [mm]\overrightarrow{MP1}[/mm] muss senkrecht zu
> [mm]\overrightarrow{AP1}[/mm] stehen, also:
> [mm]\overrightarrow{P1M}*\overrightarrow{AP1}=0[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P1M}= \vektor{0 \\ 0}-\vektor{x \\ y}=\vektor{-x \\ -y}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P1A}= \vektor{5 \\ -10}-\vektor{x \\ y}= \vektor{5-x \\ -10-y}[/mm]
>
> Die erste Gleichung lautet also:
> [mm]\vektor{-x \\ -y}* \vektor{5-x \\ -10-y}=0[/mm]
> <=>
> ((-x)*(5-x))+((-y)*((-10-y))=0
> <=> [mm]-5x+x^2+10y+y^2=0[/mm]
>
> II. Bedingung:
> P1 [mm]\varepsilon[/mm] k
> [mm]\vmat{ \overrightarrow{MP1}}^{2}=r^{2}[/mm]
>
> Also lautet die Gleichung:
> [mm](0-x)^{2}+(0-y)^{2}=4[/mm]
> <=> [mm]x^{2}+y^{2}=4[/mm]
> <=> [mm]x^{2}+y^{2}-4=0[/mm]
>
> Dann habe ich die erste und die zweite Gleichung
> gleichgesetzt:
>
> [mm]-5x+x^{2}+10y+y^{2}=x^{2}+y^{2}-4[/mm]
> <=> -5x+10y+4=0
> <=> 10y=-4+5x
> <=> y= [mm]-\bruch{2}{5}+\bruch{1}{2}x[/mm]
>
> Das habe ich dann in die zweite Gleichung eingesetzt:
> [mm]x^{2}+((-\bruch{2}{5}+\bruch{1}{2}x)^2[/mm] -4 =0
> <=> [mm]x^{2}+\bruch{4}{25}-\bruch{2}{5}x+\bruch{1}{4}x^2[/mm] -4
> =0
> <=> [mm]\bruch{5}{4}x^{2}-\bruch{2}{5}x-\bruch{96}{25}=0[/mm]
> <=> [mm]x^{2}-\bruch{8}{25}x-\bruch{384}{125}=0[/mm]
>
> An dieser Stelle bin ich. Ich habe das ganze auch in die
> PQ-Formel eingesetzt, aber ich kann mir nicht vorstellen,
> dass das richtig ist.
>
> Kann mir jemand helfen und mir sagen, wo mein Fehler
> liegt???
Hallo,
bis jetzt ist alles richtig.
Rechne weiter.
>
> Vielen DANK!
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okay, dann muss ich jetzt ja die PQ-Formel verwenden:
[mm] \bruch{0,32}{2}+\wurzel{(-\bruch{0,32}{2})^{2}+\bruch{384}{125}}
[/mm]
daraus ergibt sich:
x1= 1,92
x2=-1,6
Das setze ich dann ein bei [mm] y=\bruch{-2}{5}+\bruch{1}{2}x
[/mm]
und es kommt raus:
y1= 0,56
y2= -1,2
P1= [mm] \vektor{1,92 \\ 0,56}
[/mm]
P2= [mm] \vektor{-1,6 \\ -1,2}
[/mm]
Jetzt kann ich [mm] \overrightarrow{AP1} [/mm] aufstellen:
[mm] \overrightarrow{AP1}= \vektor{1,92 \\ 0,56}-\vektor{5 \\ -10}= \vektor{-3,08 \\ 10,56}
[/mm]
Analog dazu [mm] \overrightarrow{BP2}= \vektor{3,4 \\ 8,8}
[/mm]
Ist das bis jetzt richtig?
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Hallo leasarfati,
> okay, dann muss ich jetzt ja die PQ-Formel verwenden:
>
> [mm]\bruch{0,32}{2}+\wurzel{(-\bruch{0,32}{2})^{2}+\bruch{384}{125}}[/mm]
>
> daraus ergibt sich:
> x1= 1,92
> x2=-1,6
>
> Das setze ich dann ein bei [mm]y=\bruch{-2}{5}+\bruch{1}{2}x[/mm]
> und es kommt raus:
> y1= 0,56
> y2= -1,2
>
> P1= [mm]\vektor{1,92 \\ 0,56}[/mm]
> P2= [mm]\vektor{-1,6 \\ -1,2}[/mm]
>
> Jetzt kann ich [mm]\overrightarrow{AP1}[/mm] aufstellen:
> [mm]\overrightarrow{AP1}= \vektor{1,92 \\ 0,56}-\vektor{5 \\ -10}= \vektor{-3,08 \\ 10,56}[/mm]
>
Bis hierhin ist alles richtig.
> Analog dazu [mm]\overrightarrow{BP2}= \vektor{3,4 \\ 8,8}[/mm]
>
Das stimmt leider nicht.
> Ist das bis jetzt richtig?
>
Gruss
MathePower
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Bei [mm] \overrightarrow{BP2} [/mm] habe ich folgendes gerechnet:
[mm] \vektor{-1,6 \\ -1,2}-\vektor{-5 \\ -10}=\vektor{3,4 \\ 8,8}
[/mm]
was ist daran falsch?
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Hallo leasarfati,
> Bei [mm]\overrightarrow{BP2}[/mm] habe ich folgendes gerechnet:
>
> [mm]\vektor{-1,6 \\ -1,2}-\vektor{-5 \\ -10}=\vektor{3,4 \\ 8,8}[/mm]
>
> was ist daran falsch?
Es sind die Tangenten an den Kreis vom Punkt A aus berechnet worden.
Für die Längenberechnung ist jedoch der Punkt B herangezogen worden.
Dies ist nicht richtig.
Für den Punkt B ist genau dieselbe Rechnung durchzuführen,
wie für den Punkt A.
Gruss
MathePower
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Das bedeutet, dass ich bei dieser Rechnung eigentlich nur einen Punkt, nämlich P1 ausgerechnet habe?
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Hallo leasarfati,
> Das bedeutet, dass ich bei dieser Rechnung eigentlich nur
> einen Punkt, nämlich P1 ausgerechnet habe?
Genau.
Gruss
MathePower
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aber was ist nun P1? Ich habe bei der PQ-Formel doch zwei Werte für x rausbekommen?
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Hallo leasarfati,
> aber was ist nun P1? Ich habe bei der PQ-Formel doch zwei
> Werte für x rausbekommen?
Vom Punkt A aus können zwei Tangenten an den Kreis gelegt werden.
Dazu sind die dazugehörigen Punkte auf dem Kreis zu bestimmen.
Diese zwei Werte, die Du herausbkommen, sind diese zwei Punkte
auf dem Kreis.
Gruss
MathePower
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 20:16 Di 13.05.2014 | | Autor: | leasarfati |
okay, vielen vielen Dank für die Hilfe!!
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Hallo,
ich habe nun versucht, auch für den Punkt B das Ganze auszurechnen. Dabei habe ich aber einen Fehler gemacht, nur finde ich ihn leider nicht...:(
Also ich habe zuerst die 2 Bedingungen wieder aufgestellt:
I. Bedingung:
[mm] \overrightarrow{P2M}*\overrightarrow{BP2}=0
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P2M}= \vektor{0 \\ 0}-\vektor{x \\ y}= \vektor{-x \\ -y}
[/mm]
[mm] \overrightarrow{P2B}= \vektor{-5 \\ -10}-\vektor{x \\ y}= \vektor{-5-x \\ -10-y}
[/mm]
Die erste Gleichung lautet also:
[mm] \vektor{-x \\ -y}*\vektor{-5-x \\ -10-y}=0 [/mm]
<=> [mm] 5x+x^{2}+10y+y^{2}=0
[/mm]
Die II. Bedingung:
[mm] \overrightarrow{P2M}^2 [/mm] = [mm] r^2
[/mm]
P2 [mm] \varepsilon [/mm] k
[mm] (0-x)^2 [/mm] + [mm] (0-y)^2 [/mm] = 4
<=> [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -4=0
I und II gleichsetzen:
[mm] 5x+x^2 [/mm] + [mm] 10y+y^2 [/mm] = [mm] x^2 [/mm] + [mm] y^2 [/mm] -4
<=> 5x+4+10y=0
<=> 10y= -5x-4
<=> y= [mm] -\bruch{1}{2}x-\bruch{2}{5}
[/mm]
Einsetzen in II
[mm] x^2 [/mm] + [mm] (-\bruch{1}{2}x-\bruch{2}{5})^2 [/mm] -4=0
<=> [mm] x^2 +\bruch{1}{4}x^2 +\bruch{4}{25}-4=0
[/mm]
<=> [mm] x^2 [/mm] + [mm] \bruch{1}{4}x^2 -\bruch{96}{25} [/mm] = 4
Dann habe ich die PQ-Formel angewendet und habe ganz krumme Zahlen rausbekommen, die ich dann wieder in y=... eingesetzt habe, um y rauszubekommen. Die beiden Punkte, die sich dann daraus ergeben haben, habe ich in die Kreisgleichung eingesetzt (zur Kontrolle) und habe gesehen, dass da nicht 4 rauskommt. Meine Werte müssen also falsch gewesen sein. Aber wo ist mein Fehler in dieser Rechnung?
Schon einmal vielen Dank im Voraus:)
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| Status: |
(Antwort) fertig | | Datum: | 18:13 So 18.05.2014 | | Autor: | M.Rex |
Hallo
> Hallo,
>
> ich habe nun versucht, auch für den Punkt B das Ganze
> auszurechnen. Dabei habe ich aber einen Fehler gemacht, nur
> finde ich ihn leider nicht...:(
>
> Also ich habe zuerst die 2 Bedingungen wieder aufgestellt:
>
> I. Bedingung:
>
> [mm]\overrightarrow{P2M}*\overrightarrow{BP2}=0[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P2M}= \vektor{0 \\ 0}-\vektor{x \\ y}= \vektor{-x \\ -y}[/mm]
>
> [mm]\overrightarrow{P2B}= \vektor{-5 \\ -10}-\vektor{x \\ y}= \vektor{-5-x \\ -10-y}[/mm]
>
> Die erste Gleichung lautet also:
> [mm]\vektor{-x \\ -y}*\vektor{-5-x \\ -10-y}=0[/mm]
> <=> [mm]5x+x^{2}+10y+y^{2}=0[/mm]
>
> Die II. Bedingung:
> [mm]\overrightarrow{P2M}^2[/mm] = [mm]r^2[/mm]
> P2 [mm]\varepsilon[/mm] k
> [mm](0-x)^2[/mm] + [mm](0-y)^2[/mm] = 4
> <=> [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] -4=0
>
> I und II gleichsetzen:
> [mm]5x+x^2[/mm] + [mm]10y+y^2[/mm] = [mm]x^2[/mm] + [mm]y^2[/mm] -4
> <=> 5x+4+10y=0
> <=> 10y= -5x-4
> <=> y= [mm]-\bruch{1}{2}x-\bruch{2}{5}[/mm]
>
Bis hierher erkenne ich keinen Fehler
> Einsetzen in II
>
> [mm]x^2[/mm] + [mm](-\bruch{1}{2}x-\bruch{2}{5})^2[/mm] -4=0
Hier hast du die bimomische Formel mißachtet.
[mm] x^{2}+\left(-\frac{1}{2}x-5\right)^{2}-4=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}+\left((-1)^{2}\cdot\left(\frac{1}{2}x+5\right)^{2}\right)-4=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}+\frac{1}{4}x^{2}+5x+25-4=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow\frac{5}{4}x^{2}+5x+21=0
[/mm]
[mm] \Leftrightarrow x^{2}+4x+\frac{84}{5}=0
[/mm]
Den Rest schaffst du jetzt wieder selber.
Marius
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 18:25 So 18.05.2014 | | Autor: | leasarfati |
Vielen Dank!!
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