Tangentialebene (in Hesseform) < Sonstiges < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 15:32 Mo 29.12.2014 | | Autor: | KilaZ |
| Aufgabe | [mm] f(x,y)=4*ln(\bruch{x^2}{x^2+y^2})
[/mm]
-bestimme partielle Ableitungen, Gradient im Punkt [mm] x^{0}=(1,1)
[/mm]
-bestimme Richtungsableitung von f im Punkt [mm] x^{0}=(1,1) [/mm] in Richtung [mm] e=(\bruch{1}{2}\wurzel{2},\bruch{1}{2}\wurzel{2})
[/mm]
-bestimme im Punkt [mm] (x^{0}, f(x^{0})) [/mm] = (1,1,f(1,1)) die Tangentialebene (in Hesseform) an die durch z = f(x,y) mit x,y > 0 erklärte Fläche |
Hi,
ich komme beim 3. Punkt der obigen Aufgabe nicht weiter. Die ersten beiden konnte ich erfolgreich lösen:
-partiellen Ableitungen:
[mm] \bruch{\partial f}{\partial x} [/mm] = [mm] \bruch{8}{x}-\bruch{8x}{x^2+y^2}
[/mm]
[mm] \bruch{\partial f}{\partial y} [/mm] = [mm] -\bruch{8y}{x^2+y^2}
[/mm]
-Gradient:
grad [mm] f(x)=\vektor{ \bruch{8}{x}-\bruch{8x}{x^2+y^2} \\ -\bruch{8y}{x^2+y^2}}
[/mm]
grad [mm] f(1,1)=\vektor{4 \\ -4}
[/mm]
-Richtungsableitung
[mm] \bruch{\partial f}{\partial e}=\vektor{4 \\ -4}*\vektor{\bruch{1}{2}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2}}=0
[/mm]
Nun aber, wie gehe ich die letzte Aufgabe an?
Bin um jeden Tipp sehr froh!
Gruss
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 16:57 Mo 29.12.2014 | | Autor: | abakus |
> [mm]f(x,y)=4*ln(\bruch{x^2}{x^2+y^2})[/mm]
> -bestimme partielle Ableitungen, Gradient im Punkt
> [mm]x^{0}=(1,1)[/mm]
> -bestimme Richtungsableitung von f im Punkt [mm]x^{0}=(1,1)[/mm] in
> Richtung [mm]e=(\bruch{1}{2}\wurzel{2},\bruch{1}{2}\wurzel{2})[/mm]
> -bestimme im Punkt [mm](x^{0}, f(x^{0}))[/mm] = (1,1,f(1,1)) die
> Tangentialebene (in Hesseform) an die durch z = f(x,y) mit
> x,y > 0 erklärte Fläche
> Hi,
>
> ich komme beim 3. Punkt der obigen Aufgabe nicht weiter.
> Die ersten beiden konnte ich erfolgreich lösen:
>
> -partiellen Ableitungen:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] =
> [mm]\bruch{8}{x}-\bruch{8x}{x^2+y^2}[/mm]
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial y}[/mm] = [mm]-\bruch{8y}{x^2+y^2}[/mm]
>
> -Gradient:
> grad [mm]f(x)=\vektor{ \bruch{8}{x}-\bruch{8x}{x^2+y^2} \\ -\bruch{8y}{x^2+y^2}}[/mm]
>
> grad [mm]f(1,1)=\vektor{4 \\ -4}[/mm]
>
> -Richtungsableitung
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial e}=\vektor{4 \\ -4}*\vektor{\bruch{1}{2}\wurzel{2} \\ \bruch{1}{2}\wurzel{2}}=0[/mm]
>
> Nun aber, wie gehe ich die letzte Aufgabe an?
>
> Bin um jeden Tipp sehr froh!
>
> Gruss
Hallo,
die partielle Ableitung nach x ist 4.
Das heißt doch: wenn du 1 Schritt in x-Richtung gehst, musst du 4 Schritte in z-Richtung gehen.
Analog musst du bei einem Schritt in y-Richtung -4 Schritte in z-Richtung gehen.
Mögliche Spannvektoren deiner Tangentialebene sind also [mm] \vektor{1 \\ 0\\4}[/mm] und [mm] \vektor{0 \\ 1\\-4}[/mm]. Ihr Vektorprodukt erzeugt dann einen Normalenvektor der T.-Ebene.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:23 Di 30.12.2014 | | Autor: | KilaZ |
Hi,
danke für deine Antwort!
Wenn ich das Vektorprodukt bilde bekomme ich folgendes:
[mm] \vektor{1 \\ 0 \\ 4} [/mm] x [mm] \vektor{0 \\ 1 \\ -4} [/mm] = [mm] \vektor{-4 \\ 4 \\ 1}
[/mm]
d.h. meine Tangentialebene ist:
-4x+4y+1z=0
Ich soll das ganze ja in Hesseform angeben. Laut Skriptum ist die Hesse Matrix die Matrix der zweiten Ableitung von f.
Also f(x,y,z)=-4x+4y+1z nach x,y,z 2 mal ableiten und in Matrixform anschreiben?
Vielen Dank!
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(Frage) überfällig  | | Datum: | 10:39 Di 30.12.2014 | | Autor: | abakus |
> Hi,
>
> danke für deine Antwort!
>
> Wenn ich das Vektorprodukt bilde bekomme ich folgendes:
> [mm]\vektor{1 \\ 0 \\ 4}[/mm] x [mm]\vektor{0 \\ 1 \\ -4}[/mm] = [mm]\vektor{-4 \\ 4 \\ 1}[/mm]
>
> d.h. meine Tangentialebene ist:
> -4x+4y+1z=0
>
> Ich soll das ganze ja in Hesseform angeben. Laut Skriptum
> ist die Hesse Matrix die Matrix der zweiten Ableitung von
> f.
>
> Also f(x,y,z)=-4x+4y+1z nach x,y,z 2 mal ableiten und in
> Matrixform anschreiben?
>
> Vielen Dank!
Hallo,
Das hat aus meiner Sicht (ich kann mich irren) nichts mit Hessematrix zu tun. Es geht nach meiner Meinung um folgendes:
![[]](/images/popup.gif)
de.wikipedia.org/wiki/Hessesche_Normalform#Darstellung_2
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 12:38 Di 30.12.2014 | | Autor: | KilaZ |
Hi,
hm, da ansonsten im Skriptum nirgends etwas von Hessform steht, werde ich es so machen wie du mir vorgeschlagen hast.
Vielen Dank!
Gruss
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 11:20 Do 01.01.2015 | | Autor: | matux |
$MATUXTEXT(ueberfaellige_frage)
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> [mm]f(x,y)=4*ln(\bruch{x^2}{x^2+y^2})[/mm]
> -bestimme partielle Ableitungen, Gradient im Punkt
> [mm]x^{0}=(1,1)[/mm]
> -bestimme Richtungsableitung von f im Punkt [mm]x^{0}=(1,1)[/mm] in
> Richtung [mm]e=(\bruch{1}{2}\wurzel{2},\bruch{1}{2}\wurzel{2})[/mm]
> -bestimme im Punkt [mm](x^{0}, f(x^{0}))[/mm] = (1,1,f(1,1)) die
> Tangentialebene (in Hesseform) an die durch z = f(x,y) mit
> x,y > 0 erklärte Fläche
> Hi,
>
> ich komme beim 3. Punkt der obigen Aufgabe nicht weiter.
> Die ersten beiden konnte ich erfolgreich lösen:
>
> -partiellen Ableitungen:
> [mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] =
> [mm]\bruch{8}{x}-\bruch{8x}{x^2+y^2}[/mm]
[mm] \red{------------------------------------------------------------}
[/mm]
Diese partielle Ableitung ist nicht korrekt.
Es ist [mm]\bruch{\partial f}{\partial x} = \bruch{8y^2}{x(x^2+y^2)}[/mm]
[mm] \red{------------------------------------------------------------}
[/mm]
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(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 19:00 Mo 29.12.2014 | | Autor: | chrisno |
[mm]\bruch{\partial f}{\partial x}[/mm] = [mm]\bruch{8}{x}-\bruch{8x}{x^2+y^2}[/mm] = [mm]\bruch{8(x^2+y^2)}{x(x^2+y^2)}-\bruch{8x^2}{x(x^2+y^2)}[/mm] = [mm]\bruch{8(x^2+y^2)-8x^2}{x(x^2+y^2)}[/mm] = [mm]\bruch{8y^2}{x(x^2+y^2)}[/mm]
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Donnerlittchen! Hab ich gar nicht bemerkt.
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