Tangentialebene und Gradienten < gewöhnliche < Differentialgl. < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
|
| Aufgabe | | Zeigen sie, dass das Gradientenfeld der Punktladung senkrecht auf den Äquipotenzialflächen steht. Berechnen sie dazu die Tangentialebene der Äquipotenzialfläche in einem Punkt P und stellen sie die Fläche in ihrer Normalenform dar. Sie dürfen auch einen konkreten Punkt d.h. konkrete Zahlenwerte wählen. |
Wir haben hier die Funktion [mm] U(x,y,z)=\bruch{Q}{4E\pi r} [/mm] wobei [mm] r=\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}} [/mm] und E die Dieelektrizitätskonstante ist.
Der Übersichtlichkeit halber schreibe ich nachfolgend [mm] \bruch{Q}{4E\pi}=A
[/mm]
Das Gradientenfeld ist also [mm] grad(U(x,y,z)=(U'(x,y,y))^{T}=
[/mm]
[mm] (A*\bruch{-x}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\bruch{3}{2}}}, A*\bruch{-y}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\bruch{3}{2}}}, A*\bruch{-z}{(x^{2}+y^{2}+z^{2})^{\bruch{3}{2}}})^{T}
[/mm]
in Aufgabenteil 2) wurde nach den Äquipotenzialflächen gefragt. Dies sind offensichtlich die Flächen wo U(x,y,z)=const.
Also wenn
[mm] \bruch{Q}{4E\pi\wurzel{x^{2}+y^{2}+z^{2}}}=constant [/mm] ist.
Nun zum eigentlichen Problem:
Wie der Aufgabenstellung zu entnehmen ist, soll die Tangentialebene der Äquipotenzialflächen berechnet werden. Ich habe hierbei P={1,0,0} gewählt.
Dann ist die Tangentialebene [mm] z=U(P)+U'(P)*\vektor{x-1 \\y\\z}
[/mm]
U(P) ist hier [mm] \bruch{Q}{4E\pi}
[/mm]
U'(P) ist hier [mm] \bruch{-Q}{4E\pi}
[/mm]
dann ist die Tangentialebene
[mm] z=\bruch{Q}{4E\pi}+\bruch{-Q}{4E\pi}*(x-1)
[/mm]
[mm] z=\bruch{Q}{2E\pi}-\bruch{Q*x}{4E\pi}
[/mm]
Hier ist der Punkt wo ich hänge. Wie zeige ich denn jetzt, dass die Tangentialebene senkrecht zur Äquipotenzialfläche steht?
Ich habe diese Frage auch in folgenden Foren auf anderen Internetseiten gestellt: http://www.onlinemathe.de/forum/Gradienten-und-Tangentialebene
|
|
| |
|
| Status: |
(Antwort) fertig  | | Datum: | 19:38 Fr 21.11.2008 | | Autor: | leduart |
Hallo
Deine Aequipotentialflaechen sind doch Kugeln um den Nullpunkt. Eine Tangentialebene ist natuerlich daran tangential und nicht senkrecht. Lies die aufgabe genau, das grad Feld steht senkrecht auf den aequipotentialflaechen. und bevor du einen speziellen punkt auf eine aussuchst, solltest du sagen, auf welcher, offenbar auf der kugel mit Radius 1 und da auf der x-Achse. da ist aber die Tangentialebene ne Parallele zur z-y Ebene.
Was du als TE angibst ist keine. du addierst z. Bsp Zahlen und Vektoren.
Was die Flaeche in "Normalenform " ist weiss ich nicht die normale Form einer Kugelgleichung ist r=const oder [mm] x^2+y^2+z^2=r^2
[/mm]
und jetzt zeig, dass der grad darauf senkrecht steht.
Gruss leduart
|
|
|
| |
|
| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:41 Sa 22.11.2008 | | Autor: | snp_Drake |
Ok, wie zeig ich denn dass der Gradient (der ja ein Vektor ist) senkrecht auf den Äquipotenzialflächen steht?
Anscheinend geht das einfacher, wenn ich zeige, dass das Gradientenfeld senkrecht auf der Tangentialebene steht. Die Normalenform einer Ebene ist hier wohl die Koordinatenform.
Wie lautet denn die Tangentialebene, bzw. wo genau steckt da bei meiner Berechnung der Fehler?
|
|
|
|
