Taylorentwicklung Restglied < Funktionen < eindimensional < reell < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 23:07 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
| Aufgabe | | Sei f(x) = [mm] x^{\frac{1}{4}} [/mm] für x [mm] \ge [/mm] 0. Bestimmen Sie die Taylorentwicklung von f um den Punkt [mm] x_{0} [/mm] = 1 für n = 2 und finden Sie für das Restglied R2(x) für x [mm] \in (\frac{9}{10} ,\frac{11}{10}) [/mm] eine möglichst kleine obere Schranke. |
Hallo,
Die Taylorentwicklung:
[mm] f(x)=x^{\frac{1}{4}} [/mm] = [mm] 1+\frac{x-1}{4}-\frac{3(x-1)^{2}}{32}... [/mm]
Was ist denn mit R2(x) gemeint, [mm] \frac{x-1}{4} [/mm] oder [mm] \frac{3(x-1)^{2}}{32}?
[/mm]
Ich habe diese Frage in keinem anderen Forum gestellt.
Danke und Grüsse
kushkush
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> Sei f(x) = [mm]x^{\frac{1}{4}}[/mm] für x [mm]\ge[/mm] 0. Bestimmen Sie die
> Taylorentwicklung von f um den Punkt [mm]x_{0}[/mm] = 1 für n = 2
> und finden Sie für das Restglied R2(x) für x [mm]\in (\frac{9}{10} ,\frac{11}{10})[/mm]
> eine möglichst kleine obere Schranke.
> Hallo,
>
>
> Die Taylorentwicklung:
>
> [mm]f(x)=x^{\frac{1}{4}}[/mm] =
> [mm]1+\frac{x-1}{4}-\frac{3(x-1)^{2}}{32}...[/mm]
>
> Was ist denn mit R2(x) gemeint, [mm]\frac{x-1}{4}[/mm] oder
> [mm]\frac{3(x-1)^{2}}{32}?[/mm]
Nein. Das Restglied [mm] R_2(x) [/mm] ist der "Rest", den man vernach-
lässigt, wenn man die Taylorentwicklung nach dem Term mit
n=2 abbricht:
$\ [mm] R_2(x)\ [/mm] =\ [mm] f(x)-T_2(x)$
[/mm]
Schau mal da nach: ![[]](/images/popup.gif) Restgliedformeln
LG Al-Chwarizmi
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 23:56 Mo 17.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo Al-Chwarizmi,
Danke für den Link.
Also ich suche ein [mm] \epsilon [/mm] für welches mein Restglied möglichst klein wird.
[mm] R_{2}(x)=\frac{f^{3}(\epsilon)}{3!}(x-1)^{3} [/mm] = [mm] \frac{(\epsilon)^{-\frac{11}{4}}}{3!}(x-1)^{3}
[/mm]
Und die kleinste obere Schranke aus dem Intervall [mm] (\frac{9}{10},\frac{11}{10}) [/mm] ist somit [mm] \frac{11}{10} [/mm] ?
Gruss
kushkush
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Hallo kushkush,
> Hallo Al-Chwarizmi,
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> Danke für den Link.
> Also ich suche ein [mm]\epsilon[/mm] für welches mein Restglied
> möglichst klein wird.
>
> [mm]R_{2}(x)=\frac{f^{3}(\epsilon)}{3!}(x-1)^{3}[/mm] = [mm]\frac{(\epsilon)^{-\frac{11}{4}}}{3!}(x-1)^{3}[/mm] ![[notok]](/images/smileys/notok.gif "[notok]")
Da musst du die dritte Ableitung aber nochmal nahrechnen.
Da fehlt ein Vorfaktor ...
>
> Und die kleinste obere Schranke aus dem Intervall
> [mm](\frac{9}{10},\frac{11}{10})[/mm] ist somit [mm]\frac{11}{10}[/mm] ?
>
>
> Gruss
>
> kushkush
LG
schachuzipus
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 10:59 Di 18.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo schachuzipus,
[mm] $R_{2}x= \frac{7(\epsilon)^{-\frac{11}{4}}}{128}(x-1)^{3}$
[/mm]
aber die Wahl des epsilons als schranke stimmt ?
Danke und Gruss
kushkush
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> [mm]R_{2}x= \frac{7(\epsilon)^{-\frac{11}{4}}}{128}(x-1)^{3}[/mm]
ich erhalte einen anderen Zahlenfaktor ...
sorry, du hast Recht - ich hatte den Nenner 3! vergessen ...
> aber die Wahl des epsilons als schranke stimmt ?
Die dritte Ableitung ist auf dem Intervall [0.9 ... 1.1]
positiv und streng monoton, deshalb muss das Maximum von
[mm] \left|\frac{f'''(\epsilon)}{3!}\right| [/mm] an einem der beiden Ränder des Intervalls ange-
nommen werden. Teste beide Ränder !
LG Al-Chw.
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 22:21 Di 18.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hallo,
.9 eingesetzt ergibt mir -0.0532 und 1.1 eingesetzt -0.056, da der Betrag gefragt war stimmt also 1.1 als Schranke?
Danke und Gruss
kushkush
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> Hallo,
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> .9 eingesetzt ergibt mir -0.0532 und 1.1 eingesetzt -0.056, ![[haee]](/images/smileys/haee.gif "[haee]") ![[kopfschuettel]](/images/smileys/kopfschuettel.gif "[kopfschuettel]")
WO eingesetzt ?
> da der Betrag gefragt war stimmt also 1.1 als Schranke?
Hallo kushkush,
nach meiner Rechnung hat für das Intervall von 0.9 bis 1
das Restglied einen Betrag von
[mm] |T_2(x)|<0.0000731
[/mm]
und für das Intervall von 1 bis 1.1 habe ich
[mm] |T_2(x)|<0.0000421
[/mm]
Für das gesamte Intervall von 0.9 bis 1.1 ergibt sich also
die numerische Restgliedabschätzung
$\ [mm] |T_2(x)|<0.0000731$
[/mm]
Bechnet man die Abweichungen zwischen f(x) und [mm] T_2(x)
[/mm]
direkt numerisch, so ergibt sich die maximale absolute
Abweichung an der Stelle 0.9, nämlich
[mm] $|f(x)-T_2(x)|\ \le\ |f(0.9)-T_2(0.9)|\ \approx\ [/mm] 0.0000588$
Letztere Rechnung ergibt erwartungsgemäß einen etwas
kleineren Abweichungswert als die Abschätzung gemäß
der Restgliedformel.
LG Al-Chw.
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(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 01:30 Mi 19.01.2011 | | Autor: | kushkush |
Hi Al-Chwarizmi,
$ [mm] R_{2}x= \frac{7(\epsilon)^{-\frac{11}{4}}}{128}(x-1)^{3} [/mm] $
hier hab ich die Intervallsgrenzen eingesetzt... war wohl ein Rechenfehler! Erhalte für
x=0.9 0.000073067
x=1.1 0.0000420783
Danke!
Gruss
kushkush
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