Taylorentwicklung Restglied < komplex < Analysis < Hochschule < Mathe < Vorhilfe
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(Frage) beantwortet  | | Datum: | 22:19 So 18.09.2011 | | Autor: | Fry |
Hallo zusammen,
gilt bei der Taylorreihenentwicklung (um 0) im Komplexen die Restgliedabschätzung
[mm]\left|f(x)-\sum_{n=1}^{m}\bruch{f^{n}(0)}{n!}\right|\le \bruch{|f^{(m+1)}(0)|}{(m+1)!}[/mm] ? Falls ja, kennt jemand ne Inetseite oder ein Buch, in dem das steht?
Kann mir nicht erklären, wie man daraufkommt.
Habe nämlich in einem Paper folgendes gefunden:
[mm]\left|f(x)-\sum_{n=1}^{m}\bruch{f^{n}(0)}{n!}\right|\le \bruch{1}{R^{m+1}}\sup_{|z|=R}|f(z)|[/mm]
Entsprechend der Cauchy Ungleichungen gilt ja [mm] \bruch{|f^{(m+1)}(0)|}{(m+1)!}\le \bruch{1}{R^{m+1}}\sup_{|z|=R}|f(z)|
[/mm]
Daher meine Annahme. (f sei holomorph für [mm] |z|\le [/mm] R)
Wäre echt toll, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet!
Danke.
LG
Fry
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(Antwort) fertig  | | Datum: | 08:07 Mo 19.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Hallo zusammen,
>
> gilt bei der Taylorreihenentwicklung (um 0) im Komplexen
> die Restgliedabschätzung
>
> [mm]\left|f(x)-\sum_{n=1}^{m}\bruch{f^{n}(0)}{n!}\right|\le \bruch{|f^{(m+1)}(0)|}{(m+1)!}[/mm]
> ?
Nein. Nimm mal [mm] f(z)=z^3 [/mm] und m=1
FRED
> Falls ja, kennt jemand ne Inetseite oder ein Buch, in
> dem das steht?
> Kann mir nicht erklären, wie man daraufkommt.
>
> Habe nämlich in einem Paper folgendes gefunden:
> [mm]\left|f(x)-\sum_{n=1}^{m}\bruch{f^{n}(0)}{n!}\right|\le \bruch{1}{R^{m+1}}\sup_{|z|=R}|f(z)|[/mm]
>
> Entsprechend der Cauchy Ungleichungen gilt ja
> [mm]\bruch{|f^{(m+1)}(0)|}{(m+1)!}\le \bruch{1}{R^{m+1}}\sup_{|z|=R}|f(z)|[/mm]
>
> Daher meine Annahme. (f sei holomorph für [mm]|z|\le[/mm] R)
>
> Wäre echt toll, wenn ihr mir da weiterhelfen könntet!
> Danke.
>
> LG
> Fry
>
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 12:56 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Fry |
Danke Fred,
irgendeine Ahnung, wie man an die andere Abschätzung kommen könnte?
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 13:13 Mo 19.09.2011 | | Autor: | fred97 |
>
> Danke Fred,
>
> irgendeine Ahnung, wie man an die andere Abschätzung
> kommen könnte?
Meinst Du diese:
$ [mm] \left|f(x)-\sum_{n=1}^{m}\bruch{f^{n}(0)}{n!}\right|\le \bruch{1}{R^{m+1}}\sup_{|z|=R}|f(z)| [/mm] $
?
Das kommt mir abenteuerlich vor !
Welche Eig. soll R haben ?
Für $f(z) [mm] \equiv [/mm] 1$ wird daraus
$1 [mm] \le \bruch{1}{R^{m+1}}$
[/mm]
Schau noch mal in dem Paper nach, wie die Ungl. wirklich lautet und wie die Vor. genau aussehen .
FRED
>
> LG
> Fry
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(Frage) beantwortet | | Datum: | 16:52 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Fry |
Mmmm...ja, du hast Recht, hab da wohl einiges durcheinander gebracht. Und um Taylorreihenentwicklung scheints ja auch nicht so richtig zu gehen, da die Potenzen von x fehlen...bin verwirrt.
Hier erstmal so, wie es im Artikel steht:
[mm]\left|f(1)-\sum_{n=0}^{m}\bruch{f^{n}(0)}{n!}\right|\le \bruch{R}{R-1}\bruch{1}{R^{m+1}}\sup_{|z|=R}|f(z)|[/mm]
wobei f eine für |z|<R holomorphe Funktion sei, R>1.
LG
Fry
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(Antwort) fertig | | Datum: | 17:11 Mo 19.09.2011 | | Autor: | fred97 |
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> Mmmm...ja, du hast Recht, hab da wohl einiges durcheinander
> gebracht. Und um Taylorreihenentwicklung scheints ja auch
> nicht so richtig zu gehen, da die Potenzen von x
> fehlen...bin verwirrt.
>
> Hier erstmal so, wie es im Artikel steht:
> [mm]\left|f(1)-\sum_{n=0}^{m}\bruch{f^{n}(0)}{n!}\right|\le \bruch{R}{R-1}\bruch{1}{R^{m+1}}\sup_{|z|=R}|f(z)|[/mm]
>
> wobei f eine für |z|<R holomorphe Funktion sei, R>1.
Das sieht schon wesentlich besser aus.
Wir setzen [mm] a_n:=\bruch{f^{n}(0)}{n!} [/mm] und M:= [mm] \sup_{|z|=R}|f(z)|
[/mm]
Dann gilt für |z|<R:
$f(z)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_nz^n,$
[/mm]
also
$f(1)= [mm] \summe_{n=0}^{\infty}a_n,$
[/mm]
somit ist
$|f(1)- [mm] \summe_{n=0}^{m}a_n|= |\summe_{n=m+1}^{\infty}a_n| \le \summe_{n=m+1}^{\infty}|a_n|$
[/mm]
Die Cauchyschen Abschätzungen liefern:
[mm] |a_n| \le \bruch{M}{R^n}
[/mm]
Wenn Du damit den Ausdruck [mm] \summe_{n=m+1}^{\infty}|a_n| [/mm] abschätzt und an die Summenformel für die geometrische Reihe denkst, bekommst Du das Gewünschte,
FRED
>
> LG
> Fry
>
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig  | | Datum: | 17:31 Mo 19.09.2011 | | Autor: | Fry |
Du bist ein Schatz :).
Dank dir, Fred.
LG
Fry
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| Status: |
(Mitteilung) Reaktion unnötig | | Datum: | 17:34 Mo 19.09.2011 | | Autor: | fred97 |
> Du bist ein Schatz :).
..... das ist schön, dass endlich meine wahren Qualitäten entdeckt werden ....
> Dank dir, Fred.
Keine Ursache
FRED
>
> LG
> Fry
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